动态规划之经典案例《0-1背包问题》详解

0-1背包问题描述

有一个可装重量为w的背包和n件物品，每件物品都有重量和价值两个属性，且每件物品只有一件，只能选择装入或者不装，能装入的最大物品价值是多少？

一、贪心算法分析

看到求最值问题，一般是使用动态规划来解。为什么不使用贪心算法来解？因为贪心算法求的是局部最优解，而动态规划才能求得全局最优解。

举个例子：

现在有以下物品重量和价值数组W、V，背包最多装入9kg物品。
W = [4,6,5,2]
V = [7,8,5,3]

使用贪心算法时，每一步要做的就是对于第i件物品，我取还是不取，且只能抉择一次。这就需要使用一个标准来衡量后，进行决策。

• 若使用价值重量比（v/w）作为贪心算法的决策方向，则贪心算法的每一步都选择重量轻价值高的物品。4件物品的价值重量比为：1.75、1.3、1、1.5，这样依次会选择第1件、第4件，总价值为10，重量为6，剩余3kg已不能再装入物品。但若选择第2件和第4件，总重量8，总价值为11，这又是更好地选择。若选择第1件和第3件，总重量9，总价值12，这又是更好的选择。所以，若单纯以价值重量比作为贪心的决策方向，是不能求得全局最优解的。
• 如果决策标准是价值最高的物品呢？即先选第2件，再选第4件，总重量8，总价值11。那又能找到更好地选择：先选第1件，再选第3件，这样总重量9，总价值12。

所以总而言之，贪心算法只能求得一个差强人意的结果，但不是最好的结果。

二、动态规划分析

案例：

现在有m件物品，重量和价值表示为W、V数组，背包中最多装入n(kg)物品。输入m=3，n=4。
W = [2,1,3]
V = [4,2,3]

如果用动态规划解决背包问题需要怎样考虑呢？它不像贪心算法一样，对于第i件物品，选择取还是不取，且只能抉择一次。而是面对前i件物品，在背包容量为j的情况下，第i件物品我要不要取。动态规划需要枚举只看前i（0 ≤ i ≤ n）件物品，背包容量为j（0 ≤ j ≤ w）时所有的物品排列组合的情况，然后将在当时情况下能获取到的最大的价值记录下来。由此，动态规划数组需要保存什么值就显而易见了，见下。

1.动态规划需要考虑的三要素

• 动态规划数组的意义：这里要考虑到两个状态：需要在前几件物品（i）中进行抉择和背包容量（j）。所以需要定义一个二维数组dp[i][j]，表示为：在只考虑前i件物品的情况下，当背包容量为j时，枚举所有的物品排列组合情况获得的价值，记录最大价值。

• 动态规划的初始值：当i=0时，表示只在前0件物品中做选择，也就是一件物品都不考虑，这种情况下不管背包容量为多少，能装的最大价值都是0；当j=0时，表示背包容量为0，这种情况下不管考虑前几件物品，都不能将其装入背包，即能装的最大价值也是0。

• 状态转移方程：这里是最难考虑的。在只考虑前i件物品的情况下，是否取第i件物品怎么决策呢？现在定义第i件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。
  
  （1）若当前背包的总空间j不能容纳第i件物品，就不能将第i件物品放入背包，此时背包内最大价值就应该等于前i-1件物品的总价值，即dp[i - 1][j]，那么就去前面查一下已经计算出的dp[i - 1][j]是多少，即dp[i][j] = dp[i - 1][j]。

  （2）若当前背包总空间j能容纳第i件物品，那就需要考虑一个问题：虽然当前背包能装下第i件物品，我一定要把它装进去吗？当然是不一定，如果这样考虑就变成了贪心算法（很容易理解）。因为第i件物品装进去虽然会增大背包的总价值，但同时也减少了背包的可用容量，可以这样理解：之前已经从前i-1件物品中选择了一部分放入了背包，如果此时放入第i件物品，就可能（并不是一定）需要从背包中已经放入的物品中再取出一部分，这样其实是增大背包总价值的同时也减少了总价值。所以需要先衡量第i件物品放进去和不放进去哪个总价值更大。分为以下<1>、<2>情况考虑：

  <1>将其放入背包，此时背包内就已经用掉了w[i]的容量，且最少有v[i]的价值了，那么剩余j - w[i]的容量最多能装多少价值的物品呢？就需要去查查已经计算出的只考虑前i-1件物品时能装的最大价值dp[i - 1][j - w[i]]是多少，这样算完后总价值就表示为dp[i][j] = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]。（第i件物品的重量w[i] = W[j-1]，第i件物品的价值v[i] = V[i-1]，因为在题设中给的代表物品重量和价值的W、V数组是从0开始索引的，因为现在只是理思路，暂时用小写的w[i]和v[i]来标记，等写代码时再替换为大写的W和V。）

  <2>不将其放入背包，此时背包内总价值还是前i-1件物品的总价值，即dp[i][j] = dp[i - 1][j]。

最终放还是不放呢？取二者的最大值：dp[i][j] = max{dp[i - 1][j - w[i]] + v[i] , dp[i - 1][j]}

2.伪代码描述

总结以上三点，现在开始枚举所有情况，假设物品件数为m，背包重量为n，用伪代码表示：

int dp[m+1][n+1];//为什么+1，因为枚举时有取前0件和背包重量为0的情况
dp[0][?] = dp[?][0] = 0;//两种初始值情况

for（i = 1; i <= m; ++i）{
	for(j = 1; j<= n; ++j){
		if(背包容量为j时装不下第i件物品）{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}
		else if（背包容量为j时能装下第i件物品）{
			//进行决策，选择装还是不装第i件物品
			dp[i][j] = max{dp[i - 1][j - w[i]] + v[i], dp[i - 1][j]};
		}
	}
}

3.备注

此处有一点需要注意，不理解很容易陷入误区：在考虑第i件物品要不要取时，前面已经选择的物品并不是固定不变的，即假设我在容量为4的时候选择了第一、二、三件物品，在容量为5的时候我可能会放弃第二件而装入第四件物品，反正是怎么更好怎么选。

4.使用C++语言描述

将上面的案例参考为代码转换为代码.注意，上面提到过，小写w[i]、v[i]对应的是大写W[i - 1]、V[i - 1]：

int package01(int m, int n, vector<int>& W, vector<int>& V){
	vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));//将二维数组所有值初始化为0
	for(int i = 1; i <= m; ++i){//枚举只考虑前1,2,3...i件物品的情况
		for(int j = 1; j <= n; ++j){//枚举背包容量为1,2,3...j的情况
			if(j < W[i-1]){//背包容量为j时装不下第i件物品
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			}else{//背包容量为j时能装下第i件物品
				//进行决策，选择装还是不装第i件物品
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - W[i-1]] + V[i - 1]);
			}
		}
	}
	return dp[m][n];
}

5.画图表示代码执行过程

1. 首先，建立二维数组的过程可以理解为画了一张（m+1）*（n+1）的表格，即红色区域，dp[i][j]即为每一个红色格子：
2. 初始值：
   
3. 代码执行过程：