0-1背包问题的动态规划解法

【0-1背包问题描述】

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包中的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入或者不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

【0-1背包动态规划解法思路】

动态规划算法适用于解最优化问题，并且我们在思考问题的时候常常是自顶向下的分析问题，自底向上求解。通常按照以下4步骤设计：

1. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征
2. 递归地定义最优值
3. 以自底向上的方式计算出最优值
4. 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

对于0-1背包问题来说，我们首先来刻画问题，描述最优值。即设m(n,c)为考虑将1到n个物品装入容量为c的背包中的最大价值。其次我们来自顶向下地分析问题，虑最后一个物品的装载情况：由于0-1背包问题的特性，最后一个物品只有两种装载状态，即要么将物品n装入背包，要么将物品n丢弃，不装入背包。而这两种情况对应的条件分别为：如果第n个物品的重量比现有背包的剩余容量大的话，则物品n无法再装入背包，此时的最大价值m[n][c] = m[n-1][c]。如果第n个物品的重量比现有背包的剩余容量小的话，则物品n可以再装入背包，此时的最大价值取决于第n个物品的价值是否加入后导致总价值减少，即此时的最大价值m[n][c]为m[n-1][c]和m[n-1][c-w[n]]+v[n]这两个值的最大值。

【0-1背包动态规划状态转移方程及初始状态值】

在求解状态转移方程时，将问题一般化处理，即设m[i][j]为考虑将第1个物品到第i个物品的装载状态，将其装入当前容量为j的背包中的最大价值，则状态转移方程如下：

if(w[i] > j)
    m[i][j] = m[i-1][j]
if(w[i] <= j)
    Max{m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]}