Pandas | statas | 统计学中单样本t检验的使用

单样本t检验（One-sample t-test）是一种统计方法，用于确定单个样本的均值是否与已知的或假设的总体均值有显著差异。这种检验通常用于比较一组数据与一个标准值或理论值。

理论步骤：

1. 提出假设：

   • 原假设（H0）：样本均值等于总体均值，即 ( \mu = \mu_0 )。
   • 备择假设（H1）：样本均值不等于总体均值，即 ( \mu \neq \mu_0 )。根据研究目的，备择假设也可以是单侧的，如 ( \mu > \mu_0 ) 或 ( \mu < \mu_0 )。

2. 选择显著性水平：

   • 通常选择0.05作为显著性水平（α），这意味着有5%的概率错误地拒绝原假设。

3. 计算检验统计量：
   

4. 确定自由度：

   • 单样本t检验的自由度为 ( n - 1 )。

5. 计算p值：

   • 根据t统计量和自由度，使用t分布表或统计软件计算p值。

6. 做出决策：

   • 如果p值小于显著性水平（α），则拒绝原假设，认为样本均值与总体均值存在显著差异。
   • 如果p值大于或等于显著性水平（α），则不能拒绝原假设，认为没有足够的证据表明样本均值与总体均值存在显著差异。

7. 报告结果：

   • 报告t统计量、p值、置信区间等结果，并根据研究背景解释这些结果的意义。

在Python中执行单样本t检验：

在Python中，可以使用scipy.stats模块中的ttest_1samp函数来执行单样本t检验。

from scipy import stats

# 假设data是一个pandas Series，包含样本数据
# 假设的总体均值
population_mean = 100

# 执行单样本t检验
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(data, population_mean)

print(f"t统计量: {t_stat}, p值: {p_value}")

在这个例子中，data是包含样本数据的pandas Series，population_mean是假设的总体均值。ttest_1samp函数返回t统计量和p值，用于评估样本均值与总体均值是否存在显著差异。

如果您需要进一步的帮助或有关于单样本t检验的问题，请随时告诉我。我可以提供更多的帮助或解释。

实际问题： 关于空气质量的验证

有一种说法：全国所有城市空气质量指数均值在71左右。思考：这个说法是否准确?

• 验证分析

data["AQI"].mean()

75.3343653250774

验证样本均值是否等于总体均值
根据场景，我们可以使用单样本t检验，置信度为95%

r = stats.ttest_1samp(data["AQI"], 71)
print("t值：", r.statistic)
print("p值：", r.pvalue

t值： 1.8117630617496872
p值： 0.07095431526986647

从结果得知：p值为 0.07095431526986647 大于0.05，因此我们不能拒绝原假设，即不能否认上述说法【p值大于0.05，我们没有足够的证据拒绝原假设。这意味着我们不能断言两个样本的均值存在显著差异。】

mean = data["AQI"].mean()
std = data["AQI"].std()
stats.t.interval(0.95,
                 df=len(data) - 1,
                 loc=mean,
                 scale=std / np.sqrt(len(data)))
                 

(70.6277615675309, 80.0409690826239)
我们计算得出，全国所有城市平均空气质量指数，95%的可能在70.62 - 80.04之间

stats.t.interval(0.95, ...)：这个函数计算了指定置信水平下的置信区间。
在这个例子中，置信水平是95%，表示我们有95%的信心认为真实的总体均值位于计算出的区间内。

df=len(data) - 1：这个参数指定了自由度，通常等于样本量减1。

loc=mean：这个参数指定了样本均值，即置信区间的中心位置。

scale=std / np.sqrt(len(data))：这个参数指定了均值的标准误差。
标准误差是样本均值抽样分布的标准差，计算公式为样本标准差除以样本量的平方根。

置信区间（Confidence Interval）是统计学中一个非常重要的概念，它表示在一定的置信水平（如95%）下，用于估计总体参数（如均值、比例或差异）可能落在的数值范围。置信区间提供了对总体参数的不确定性的量化，反映了样本数据的变异性和样本量。

置信区间

置信区间的组成部分：

1. 点估计：通常是样本统计量，如样本均值、样本比例等。
2. 误差范围：由标准误差（Standard Error）和临界值（Critical Value）决定，标准误差反映了样本统计量的变异性，临界值与置信水平和自由度有关。
3. 置信水平：通常表示为百分比，如95%，表示如果重复抽样多次，大约95%的置信区间将包含真实的总体参数。

计算置信区间的一般步骤：

1. 确定样本统计量：计算样本均值、样本比例或其他相关的统计量。
2. 计算标准误差：对于均值的置信区间，标准误差通常为样本标准差除以样本量的平方根。
3. 确定临界值：根据置信水平和自由度（通常是样本量减1），从t分布表或使用统计软件获取临界值。
4. 计算误差范围：将临界值乘以标准误差。
5. 构建置信区间：将点估计加上和减去误差范围，得到置信区间的上下限。

示例：计算均值的95%置信区间

假设我们有一个样本，样本均值,样本标准差为 (s)，样本量为 (n)，我们想要计算均值的95%置信区间。

Python中的示例代码

from scipy import stats

# 假设data是包含样本数据的pandas Series
mean = data.mean()
std = data.std()
n = len(data)
df = n - 1

# 计算95%置信区间
confidence_level = 0.95
alpha = 1 - confidence_level
t_critical = stats.t.ppf(1 - alpha/2, df)
margin_of_error = t_critical * (std / np.sqrt(n))
confidence_interval = (mean - margin_of_error, mean + margin_of_error)

print(f"95% 置信区间: {confidence_interval}")

这个置信区间告诉我们，有95%的信心认为真实的总体均值位于这个区间内。如果置信区间不包含零（对于差异的置信区间），则表明样本均值与零存在显著差异。