1010 Radix 进制

Given a pair of positive integers, for example, 6 and 110, can this equation 6 = 110 be true? The answer is yes, if 6 is a decimal number and 110 is a binary number.

Now for any pair of positive integers N1​ and N2​, your task is to find the radix of one number while that of the other is given.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case occupies a line which contains 4 positive integers:

N1 N2 tag radix

Here N1 and N2 each has no more than 10 digits. A digit is less than its radix and is chosen from the set { 0-9, a-z } where 0-9 represent the decimal numbers 0-9, and a-z represent the decimal numbers 10-35. The last number radix is the radix of N1 if tag is 1, or of N2 if tag is 2.

Output Specification:

For each test case, print in one line the radix of the other number so that the equation N1 = N2 is true. If the equation is impossible, print Impossible. If the solution is not unique, output the smallest possible radix.

Sample Input 1:

6 110 1 10

Sample Output 1:

2

Sample Input 2:

1 ab 1 2

Sample Output 2:

Impossible

代码长度限制

16 KB

时间限制

400 ms

内存限制

64 MB

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

void str_to_vec(string str, vector<int>& vec) {
    for (auto c : str) {
        if (c >= '0' && c <= '9') vec.push_back(c - '0');
        if (c >= 'a' && c <= 'z') vec.push_back(c - 'a' + 10);
    }
}

LL to_value(LL radix, vector<int> vec) {
    LL res = 0;
    for (auto val : vec) {
        if ((double)res * radix + val > 1e16) return 1e18;
        res = res * radix + val;
    }
    return res;
}

int main() {
    string N1, N2;
    int tag, radix;
    cin >> N1 >> N2 >> tag >> radix;
    vector<int> base, test;
    if (tag == 1) { str_to_vec(N1, base); str_to_vec(N2, test); }
    if (tag == 2) { str_to_vec(N2, base); str_to_vec(N1, test); }
    LL target = to_value(radix, base);

    LL l = 0, r = max(target,36ll);
    for(auto i : test) l = max(l, (LL)(i + 1));

    while (l < r) {
        LL mid = l + r >> 1;
        if(to_value(mid, test) >= target) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    if (to_value(r, test) == target) cout << r;
    else cout << "Impossible";
    return 0;
}

总结

这题具有一定难度，主要核心是进制的转换与二分法的边界确定。

1. 首先读入数据，确定一个基准数据（已知进位和数值的数据），然后计算出其十进制数。这里用long long能解决问题的主要原因是该题数据最大估计为36^10（数值部分最多10位）小于1e18。

2. N进制转10进制，to_value采用的是秦九韶算法。这里尤其要注意为什么传入的参数数据类型为long long，因为对待定的进制数，其进制不确定，这里我们要分析进制数的进制取值范围。

首先，进制数如果是1位，那么即便取最大进制n，数值也只能表示0~n-1。

如果，进制数是2位，数值范围则是0~n*(n-1)。但由于目标target数值固定，对于待定test进制数，如果要与其相等，那么只能在进制长度与进制大小做取舍。比如(10)的b进制，其值为b，就等于target时，b就要取long long才能表示。

3. 二分法边界的确定

        3.1 左边界：我们知道一个进制数的每一位最大值不超过进制，所以我们可以通过遍历进制数，来确定这个进制数的最小进制是多少，即左边界。这里的LL(i+1)要连着。

        3.2 右边界：目标数与36ll取最大，至少大于等于36。

4. 二分法模型

        a. l < r

        b. mid = l + r >> 1  移位运算求中间值

        c. mid靠右