【CSP-J2019 江西】非回文串

【CSP-J2019 江西】非回文串

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NOIP 专栏：CSP-J 2019 江西
算法竞赛：数学，组合数学，组合计数，排列组合，全排列，不可重复的排列，字符串，传统题（标准 OI）
题目链接：洛谷 P5684【CSP-J2019 江西】非回文串

题目描述：
Alice 有 $n$ 个字符，它们都是英文小写字母，从 $1\sim n$ 编号，分别为 $c_1,c_2,\dots ,c_n$。
Bob 准备将这些字符重新排列，组成一个字符串 $S$。Bob 知道 Alice 有强迫症，所以他打算将 $S$ 组成一个非回文串来折磨 Alice。
现在 Bob 想知道他共有多少种不同的排列字符的方案，能使得 $S$ 是个非回文串。一种排列字符的方案指的是一个 $1\sim n$ 的排列 $p_i$，它所组成的 $S=c_{p_1}{c}_{p_2}\dots c_{p_n}$。
一个字符串是非回文串，当且仅当它的逆序串与原串不同。例如 abcda 的逆序串为 adcba，与原串不同，故 abcda 是非回文串。而 abcba 的逆序串与原串相同，是回文串。
由于最后的结果可能很大，你只需要告诉 Bob 总方案数对 $10^9+7$ 取模后的值。

输入格式：
第一行一个正整数 $n$ 表示字符个数。
第二行 $n$ 个英文小写字母 $c_i$。
输出格式：
仅一行一个整数表示答案。答案对 $10^9+7$ 取模。

数据范围：
对于 $20\%$ 的数据，$n\le 8$；
对于 $50\%$ 的数据，$n\le 20$；
另有 $30\%$ 的数据，字符只包含 a 和 b；
对于 $100\%$ 的数据，$3\le n\le 2000$。

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题目分析

给定一个长度为 $n$ 的仅由小写字母构成的字符串 $S[1\sim n]$，求出字符串 $S[1\sim n]$ 的排列中不为回文串的数量。

回文串即左右字符成轴对称的字符串，如 abbccbba,acbca 为回文串，aabbcc,abcabc 不是回文串。

注意：不同位置的相同字母的编号不同，如 aba 的回文串有两个，即 $a_{1}b{a}_2,a_{2}b{a}_1$。

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算法知识

1. 全排列，无重复排列
2. 快速幂
3. 费马小定理（逆元）
4. 模运算

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排列组合

（1）排列概念

这里用到组合数学中的排列（全排列，无重复排列）。

排列（permutation），即从 $n$ 个不同的元素中，任取 $m,(m\le n)$ 个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。特别地，当 $m=n$ 时，这个排列被称作全排列（all permutation）。