【BYOI R1】意识解离-优快云博客

【BYOI R1】意识解离

算法竞赛：构造，Ad-hoc
题目链接：洛谷 P14524 [BYOI R1] 意识解离

题目描述：
对于两个序列 $a_1, \ldots, a_n$ 与 $b_1, \ldots, b_m$ ，定义 $a + b$ 表示将 $a, b$ 向右按位对齐 后对位相加，得到的长度为 $\max(n, m)$ 的新序列。形式化地，若 $\geq m$ ，则有
$[a_1, a_2, \ldots, a_{n-m}, a_{n-m+1} + b_1, a_{n-m+2} + b_2, \ldots, a_n + b_m];$
若 $n < m$ ，则由对称性 $a + b$ 等于 $b + a$ ，可以给出类似的形式化定义。
BY 认为一个序列是 别样的，当且仅当这个序列可以被表示为至少 $1$ 个 单调不增的 正整数序列依次进行加法运算的结果。
他有多组询问。每组询问给出非负整数序列 $x_1, \ldots, x_n$ ，你需要判断序列 $x$ 是否为 别样的。

输入格式：
本题有多组测试数据。
输入的第一行包含一个正整数 $T$ ，表示测试数据组数。接下来依次输入每组测试数据。对于每组测试数据：

第一行包含一个正整数 $n$ ，表示序列 $x$ 的长度。
第二行包含 $n$ 个非负整数 $x_1, \ldots, x_n$ ，表示序列 $x$ 。

输出格式：
对于每组测试数据，输出一行一个字符串：

若序列 $x$ 是 别样的，则输出 Yes；
否则，输出 No。

数据范围：
对于所有测试数据，保证：

$\le T \le 10^6$ ；
$\le n \le 10^6$ ， $\le \sum n \le 10^6$ ；
$\le x_i \le 10^9$ 。

[BYOI R1] 意识解离

题目大意

给出一个非负整数序列 $A[a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n]$ ，判断其能否被拆分成若干个正整数序列之和的形式，要求每个正整数序列单调不增且相加时靠右对齐。

题目分析

我们发现如果序列中存在 $a_i<a_{i+1}$ ，那么从 $a_{i+1}$ 开始相比于 $a_i$ 必须要多拆分至少一个正整数序列，因为每个正整数序列是单调不增的，如果存在方案使 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 拆分开的正整数序列数量一样（ $a_{i+1}$ 拆分开的数量不可能少于 $a_i$ 拆分开的），那么 $a_{i+1}$ 不可能大于 $a_i$ ，所以从 $a_{i+1}$ 拆分开的正整数序列的数量至少要比 $a_i$ 的多一个。

我们记 $cnt_i$ 表示到 $a_i$ 至少要拆分开的正整数序列的数量，易得有 $cnt_i\ge cnt_{i-1},i\in(1,n]$ ，那么可以推出：

如果 $cnt_{i-1}>a_i$ ，则这个非负整数序列一定没有合法的拆分方案，因为 $c n t$ 存在性质： $cnt_i\ge cnt_{i-1},i\in(1,n]$ ，又因为拆分出来的必须是正整数，即最小为 $1$ ，那么如果 $cnt_{i-1}>a_i$ ，则 $a_i$ 一定不能被合法地拆分。
$cnt_i$ 的计算方式为：如果 $a_i>a_{i-1}$ ，则 $c n t = c n t + 1$ ，原因在第一段所叙述。

如果不存在 $cnt_{i-1}>a_i$ ，即所有的 $cnt_{i-1}\le a_i,i\in(1,n]$ ，那么这个非负整数序列一定能被合法地拆分，其中将 $c n t = 1$ 作为初始值，因为原始的非负整数序列至少要被拆分成一个正整数序列，这样处理了边界问题和原序列存在 $0$ 的情况。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		int last,flag=1;
		long long cnt=1;
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			if (cnt>x) flag=0;
			if (i==1)
			{
				last=x;
				continue;
			}
			if (x>last) cnt++;
			last=x;
		}
		if (flag) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}