线性微分方程

线性微分方程，是指以下形式的 微分方程：

  

其中 微分算子 L是 线性算子， y是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。 L是线性的条件，排除了诸如把 y的 导数平方那样的运算；但允许取 y的二阶导数。因此，线性微分方程的一般形式是：

 

  微分方程形式

其中 D是微分算子 d/dx（也就是 Dy = y'， Dy = y"，……）， ai是给定的函数。这个微分方程是 n阶的，因为方程中含有 y的 n阶导数，而不含 n+1阶导数。

如果ƒ = 0，那么方程便称为 齐次线性微分方程，它的解称为 补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果 ai是常数，那么方程便称为 常系数线性微分方程。

通俗的解释

何谓线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。

这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。 比如aX+bY+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

如果一个 微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

 

 

 

 

 

 

线性指的是方程中函数的导数和函数本身都是一次的,但这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制.
也就是说y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中对于p(x)和q(x)并不做限制.
形式如(y')²+p(x)y+q(x)=0,  y'+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程.

为了更好的理解.可以这样打个比方,对于曾经学过的一次函数ax+by+c=0,ab不同时为0.
只要把其中的x和y换成微分方程中的y'和y即可,变换后的方程即为线性微分方程.