51nod 1284 2 3 5 7的倍数(容斥原理）

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容斥原理

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本文介绍了一个算法问题，即在1到n范围内找出所有非2、3、5、7倍数的数的数量，n的范围可达1e18。通过使用容斥原理和计算特定数的倍数个数的方法，该问题得以有效解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

题目意思很简单，求1到n中有多少数不是2， 3， 5， 7的倍数，n范围到 1e18。

分析

两个知识点解决：

1 到 n 中，能整除c的数的个数为 $n / c$
容斥原理。

首先算有多少是2，3， 5， 7的倍数。num（x)表示有多少是x倍数：

容斥原理： $n u m （ 2 + 3 + 5 + 7 ） = n u m (2) + n u m (3) + n u m (5) + n u m (7) - n u m (23) - n u m (25) - n u m (27) - n u m (35) - n u m (37) - n u m (57) + n u m (235) + n u m (237) + n u m (257) + n u m (357) - n u m (2357)$

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#define d(x) cout << (x) << endl
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e3 + 10;

int main()
{
    ll n;
    cin >> n;
    ll ans = n;    //是2 3 5 7 的倍数
    ans = ans - n / 2 - n / 3 - n / 5 - n / 7;
    ans = ans + n / (2 * 3) + n / (2 * 5) + n / (2 * 7) + n / (3 * 5) + n / (3 * 7) + n / (5 * 7);
    ans = ans - n / (2 * 3 * 5) - n / (2 * 3 * 7) - n / (2 * 5 * 7) - n / (3 * 5 * 7);
    ans = ans + n / (2 * 3 * 5 * 7);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}