欧拉函数总结

本文深入讲解了欧拉函数的概念,提供了计算欧拉函数的具体公式,包括单个数值和多个数值的计算方法。同时,详细阐述了欧拉函数的性质,如欧拉定理和质数情况下的特殊性质,并附带了代码实现示例。

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一、什么是欧拉函数

欧拉函数是计算小于x的整数中与x互质的数的个数,一般用φ(x)表示。特殊的,φ(1)=1。

二、计算欧拉函数

通式:φ(n)=n∗∏(1−1pi)\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})φ(n)=n(1pi1)
即 φ(x) = x * (1-1/p(1)) * (1-1/p(2)) * (1-1/p(3)) (1-1/p(4))……(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;注意:每种质因数只有一个。

怎样理解呢
对于x的一个质因数pip_ipi,因为x内pip_ipi的倍数均匀分布,所以x内有1pi\frac{1}{p_i}pi1的数是pip_ipi的倍数,那么就有1−1pi1-\frac{1}{p_i}1pi1的数不是pip_ipi的倍数。
举个例子:
假设x = 12, 12以内有1/2的数是2的倍数,有1-1/2的数不是2的倍数(1, 3, 5, 7, 9, 11),这6个数里又有1/3的数是3的倍数,只剩下(1-1/2)(1-1/3)的数既不是2的倍数,也不是3的倍数(1, 5, 7, 11),这样剩下的12 * (1-1/2)* (1-1/3),即4个数与12互质,所以φ(n)=4\varphi(n) = 4φ(n)=4

三、欧拉函数性质

  1. 对于质数n:

    φ(n)=n−1\varphi(n) = n - 1φ(n)=n1

  2. 欧拉函数为积形函数:对于gcd(n,m)=1gcd(n,m) = 1gcd(n,m)=1,

    φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)φ(nm)=φ(n)φ(m)

  3. 欧拉定理: 对于互质的a,m

    aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}aφ(m)1(modm)

  4. 小于n且与n互质的数的和:

    S=n∗φ(n)2S = n * \frac{\varphi(n)}{2}S=n2φ(n)

  5. 对于质数p

    若:nmod  p=0n \mod p = 0nmodp=0 则: φ(n∗p)=φ(n)∗p\varphi(n * p) = \varphi(n) * pφ(np)=φ(n)p
    若:nmod  p≠0n \mod p \neq 0nmodp̸=0φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)φ(np)=φ(n)(p1)

  6. 对于n=pkn = p^kn=pk

    φ(n)=(p−1)∗pk−1\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}φ(n)=(p1)pk1

四、代码实现

求单个欧拉函数值

公式法O(n\sqrt{n}n)

ll phi(ll n)
{
    ll ans = n;
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++){
        if (n % i == 0){
            ans -= ans / i;         //这一步就是对应欧拉函数的通式  
            while (n % i == 0){    //为了保证完全消除我们刚才得到的那个i因子。
                n /= i;            //确保我们下一个得到的i是n的素因子。
            }
        }
    }
    if (n > 1)              //如果还有素因子没有除
        ans -= ans / n;
    return ans;
}
求多个欧拉函数值(打表)
const int N = 1e2 + 10;

int phi[N];
void ph()
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++){
        if (!phi[i])
            for (int j = i; j < N; j += i){
                if (!phi[j])
                    phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
    }
}
<think>好的,我需要帮助用户了解欧拉函数的算法实现。首先,我要回顾一下欧拉函数的定义。根据引用[2]和[3],欧拉函数φ(n)是小于n的正整数中与n互质的数的数目。例如φ(8)=4,因为1,3,5,7和8互质。 接下来,用户想知道如何实现欧拉函数的算法。根据引用[3],欧拉函数的通式是φ(n) = n × Π(1 - 1/p),其中p是n的所有不同的质因数。所以,实现这个函数的关键步骤应该是分解质因数,然后应用这个公式。 首先,分解质因数。我需要找出n的所有不同质因数。例如,对于n=12,质因数是2和3,所以φ(12)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4。这一步可以通过试除法来实现,从2开始逐个试除,直到平方根为止。 然后,应用公式。每找到一个质因数p,就乘上(1-1/p),最后乘以n。需要注意的是,如果n最后剩下一个大于1的质数,也需要处理。 现在考虑代码实现。用户提供的引用[1]提到使用BigIntegers处理非常大的数字,但用户现在可能需要一个基础的实现方法。假设用户使用Python,可以写一个函数,首先分解质因数,然后计算结果。 需要注意的几个点:1. 处理n=1的情况,φ(1)=1。2. 在分解质因数时,避免重复因数,所以每次找到一个质因数后,要彻底除去所有该因数。例如,分解12时,先除以2得到3,再除以3,得到1,这样就不会重复计算因数2。 测试一下例子是否正确。例如,φ(8)=4,φ(12)=4,φ(7)=6(质数的情况)。代码是否能正确处理这些情况? 另外,引用[1]提到了对大数的处理,可能需要更高效的质因数分解方法,比如Pollard's Rho算法,但对于一般情况,试除法可能足够,尤其是当n不是特别大的时候。不过,试除法对于大数来说效率不高,这时候需要考虑优化算法,但用户可能先需要一个基础实现。 可能的错误点:在分解质因数时,忘记处理剩余的n可能也是质数的情况。比如,n=13,分解到最后的n=13,应该被算作一个质因数。 现在,把这些步骤整理成代码。编写一个函数euler_phi(n),返回φ(n)的值。首先处理n=0或1的特殊情况。然后对n进行质因数分解,记录所有不同的质因数,然后应用公式。 最后,生成相关问题。根据欧拉函数的应用,比如欧拉定理,或者优化算法的方法,或者比较不同分解质因数的方法的效率等。 总结,我需要给出欧拉函数的定义、算法步骤、代码实现以及相关问题。</think>### 欧拉函数算法实现 #### 1. 定义与公式 欧拉函数 $φ(n)$ 定义为**小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数**。其通式为: $$ φ(n) = n \cdot \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) $$ 其中 $p$ 是 $n$ 的质因数[^3]。 #### 2. 算法步骤 1. **质因数分解**:将 $n$ 分解为不同质因数的乘积。 2. **应用公式**:遍历每个质因数 $p$,计算 $\prod \left(1 - \frac{1}{p}\right)$,最后乘以 $n$。 #### 3. 代码实现(Python) ```python def euler_phi(n): if n <= 0: return 0 result = n # 质因数分解 p = 2 while p * p <= n: if n % p == 0: while n % p == 0: n //= p result -= result // p # 等价于 result *= (1 - 1/p) p += 1 # 处理剩余的质因数(如n是质数的情况) if n > 1: result -= result // n return result ``` #### 示例验证 - **输入:8** 质因数为 2,计算过程:$8 \cdot (1 - 1/2) = 4$,输出为 4。 - **输入:7** 7 是质数,计算过程:$7 \cdot (1 - 1/7) = 6$,输出为 6[^2]。 #### 4. 优化方向 - **大数处理**:使用 Pollard's Rho 算法加速质因数分解[^1]。 - **预计算质数表**:用筛法预存质数,减少试除次数。
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