一、什么是欧拉函数
欧拉函数是计算小于x的整数中与x互质的数的个数,一般用φ(x)表示。特殊的,φ(1)=1。
二、计算欧拉函数
通式:φ(n)=n∗∏(1−1pi)\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})φ(n)=n∗∏(1−pi1)
即 φ(x) = x * (1-1/p(1)) * (1-1/p(2)) * (1-1/p(3)) (1-1/p(4))……(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;注意:每种质因数只有一个。
怎样理解呢
对于x的一个质因数pip_ipi,因为x内pip_ipi的倍数均匀分布,所以x内有1pi\frac{1}{p_i}pi1的数是pip_ipi的倍数,那么就有1−1pi1-\frac{1}{p_i}1−pi1的数不是pip_ipi的倍数。
举个例子:
假设x = 12, 12以内有1/2的数是2的倍数,有1-1/2的数不是2的倍数(1, 3, 5, 7, 9, 11),这6个数里又有1/3的数是3的倍数,只剩下(1-1/2)(1-1/3)的数既不是2的倍数,也不是3的倍数(1, 5, 7, 11),这样剩下的12 * (1-1/2)* (1-1/3),即4个数与12互质,所以φ(n)=4\varphi(n) = 4φ(n)=4。
三、欧拉函数性质
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对于质数n:
φ(n)=n−1\varphi(n) = n - 1φ(n)=n−1
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欧拉函数为积形函数:对于gcd(n,m)=1gcd(n,m) = 1gcd(n,m)=1,
φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)
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欧拉定理: 对于互质的a,m
aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}aφ(m)≡1(modm)
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小于n且与n互质的数的和:
S=n∗φ(n)2S = n * \frac{\varphi(n)}{2}S=n∗2φ(n)
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对于质数p
若:nmod  p=0n \mod p = 0nmodp=0 则: φ(n∗p)=φ(n)∗p\varphi(n * p) = \varphi(n) * pφ(n∗p)=φ(n)∗p
若:nmod  p≠0n \mod p \neq 0nmodp̸=0 则 φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1) -
对于n=pkn = p^kn=pk
φ(n)=(p−1)∗pk−1\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}φ(n)=(p−1)∗pk−1
四、代码实现
求单个欧拉函数值
公式法O(n\sqrt{n}n)
ll phi(ll n)
{
ll ans = n;
for (ll i = 2; i * i <= n; i++){
if (n % i == 0){
ans -= ans / i; //这一步就是对应欧拉函数的通式
while (n % i == 0){ //为了保证完全消除我们刚才得到的那个i因子。
n /= i; //确保我们下一个得到的i是n的素因子。
}
}
}
if (n > 1) //如果还有素因子没有除
ans -= ans / n;
return ans;
}
求多个欧拉函数值(打表)
const int N = 1e2 + 10;
int phi[N];
void ph()
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i < N; i++){
if (!phi[i])
for (int j = i; j < N; j += i){
if (!phi[j])
phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
}