欧拉函数详解

0.食用指北

1. $(a,b)$ 表示 $\gcd (a,b)$ ，也就是 $a$ 与 $b$ 的最大公约数；
2. $[a,b]$ 表示 $\mathrm{lcm}(a,b)$ ，也就是 $a$ 与 $b$ 的最小公倍数；
3. $inv(a,b)$ 表示 $a$ 在膜 $b$ 意义下的逆元；
4. $p$ 的简化剩余系是什么？
   当且仅当 $(x,p)=1且x<p$ 时，$x$ 属于 $p$ 的简化剩余系。
5. $[x,y)$ 表示左闭右开的区间；
6. 重要结论均用红色突出了，可以重点阅读这些部分；
7. 学2.3前，你需要知道线性筛。

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1.欧拉函数基础概念

1.1 欧拉函数的定义

欧拉函数表示一个数的简化剩余系的元素数。
或者说，$对于一个数p，它的欧拉函数值即为[1,p)\cap \mathbb{Z}内与p互质的数的个数。$
$特殊地，1的欧拉函数值是1。$
$欧拉函数的数学符号写作\varphi ，手写体为\phi 。$

1.2 欧拉函数的基本性质

• 1.2.1 钦定 $\phi (1)=1$.
• 1.2.2 $若p为质数，则\phi (p)=p-1.$
• 1.2.3 若 $p$ 为质数，则 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$.
• 1.2.4 $欧拉函数是积性函数，也就是说若(M,N)=1，则\phi (MN)=\phi (M)\phi (N).$
• 1.2.5 $欧拉函数的计算公式：\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})，其中p_1,p_2,\dots ,p_n为x的所有质因数.$
• 1.2.6 若 $p$ 为质数，$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=0$，则 $\phi (xp)=\phi (x)\times p$
• 1.2.7 若 $p$ 为质数，$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\ne 0$，则 $\phi (xp)=\phi (x)\phi (p)$
• 有兴趣的话可以看看：以上七点的证明

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2.欧拉函数的求法

2.1 $\mathcal{O}(\sqrt{n})求\phi (n)$

根据 1.2.5 的公式就可以做到啦

int zch_txdy(int n) {
	int ans=n,n2=n;
	for (int i=2; i*i<=n2; ++i) { //枚举√n2以下的质因子
		if (n2%i==0) ans=ans/i*(i-1); //先做除法，防止溢出
		while (n2%i==0) n2/=i;
	}
	if (n2>1) ans=ans/n2*(n2-1); //单独处理√n2以上的质因子
	return ans;
}

2.2 $\mathcal{O}(n\log \log n)$ 求 $\phi (1)\sim \phi (n)$

依然和 1.2.5 的公式有关。$\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$
其中 $x$ 这一项无论如何都会乘上的，所以我们可以这样初始化：
for (int i=1; i<=n; ++i) phi[i]=i;
$p_i$ 是 $x$ 的质因子，所以我们可以用满足 $p|x$ 的质数 $p$ 去筛 $x$ ： phi[x]=phi[x]/p*(p-1) 。

int phi[500010];
void zch_ddjxd(int n) {
	for (int i=1; i<=n; ++i) phi[i]=i;
	for (int i=2; i<=n; ++i)
		if (phi[i]==i) //未被其它数筛过，说明它是质数
			for (int j=i; j<=n; j+=i) //用i去筛所有i的倍数
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}			

容易看出这份代码和埃氏筛法的时间复杂度相同，也是 $\mathcal{O}(n\log \log n)$

2.3 $\mathcal{O}(n)求\phi (1)\sim \phi (n)$

线性筛的过程中加几句话就可以求欧拉函数了。具体看代码吧。
$v$ 存的是一个附带信息（ $i$ 的最小质因子），读者可以不管。

const int N=1000010;
int cnt,v[N],p[N],phi[N];
void zch_AKIOI(int n) { //可筛素数、求欧拉函数
	for (int i=2; i<=n; ++i) {
		if (!v[i]) {
			p[++cnt]=i; //筛素数
			phi[i]=i-1; //1.2.2
			v[i]=i;
		}
		for (int j=1; j<=cnt; ++j) {
			if (1ll*p[j]*i>n) break; //当心爆int
			int t=p[j]*i;
			v[t]=p[j]; //t的最小质因子是p[j]
			if (i%p[j]==0) {
				phi[t]=phi[i]*p[j]; //1.2.6
				break; //每个数只被它的最小质因子筛一次
			}
			else phi[t]=phi[i]*phi[p[j]]; //1.2.7
		}
	}
}

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3. 欧拉定理

$若a,p为一对互质的正整数，则a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p).$

证明：
设 $p$ 的简化剩余系为 $X$ ，元素记作 $x_1,x_2,\dots ,x_{\phi (p)}$ 。
先来证明 $\prod _{i=1}^{\phi (p)}{x}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (p)}(x_i\times a)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
这一段的证明与费马小定理中的一段证明极其相似，所以你直接去看这篇文章就行
式子两边约掉与 $p$ 互质的 $\prod _{i=1}^{\phi (p)}{x}_i$ 就得到了 $a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。

补充一点，当 $p$ 取质数时，$\phi (p)=p-1$ ，根据欧拉定理，当 $a,p$ 互质时， $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
上面这个就是费马小定理。所以费马小定理是欧拉定理的特殊情况，这也是为什么它们的证明如此相似的原因。

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4.扩展欧拉定理

扩展欧拉定理可用于 $a,p$ 不互质的情况。
$b\ge \phi (p)时，a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (p)+\phi (p)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p).$

证明在这里
注意 $b<\phi (p)$ 时不能使用扩展欧拉定理

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5.后记

$\mathrm{P}5091【模板】欧拉定理$ （注意这个是拓展欧拉定理）
$\mathrm{P}2158[\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{O}\mathrm{I}2008]仪仗队$
这两道题还是比较裸的，自己去切吧~

这篇博文的撰写参考了很多资料，在这里无法一一列出，但依然表示十分感谢。
如果您发现了一些错误，最好上洛谷私信我的号（$\mathrm{U}38785\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{U}93465$），将会在1天内回复。在优快云反馈只能保证30天内回复，在其它场合反馈只保证365天内回复

代码的话仅供参考，早期作品写得还是比较烂的。。你管一个月前叫早期？

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6.例题

$2020/3/17$ 新增板块

例题：洛谷P2568 GCD
题意：求 $\sum _{p\in \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[(i,j)=p]$

这个变形也算比较套路的，所以放个例题示范一下操作方法
我们知道 $p$ 的枚举是不可避免的，所以我们先把它放在一边

首先套路式地把gcd变成互质
$\sum _{i=1}^{n/p}\sum _{j=1}^{n/p}[(i,j)=1]$ （/表示整除）
可以将它变形为 $\left(\sum _{i=1}^{n/p}\left(2\sum _{j=1}^i[(i,j)=1]\right)\right)-1$
-1是因为 $i=j$ 时有重复枚举，发现这时只有 $i=j=1$ 时它们互质，因此答案只需-1
发现里面的求和式已经符合欧拉函数的定义了
那么最后一步把式子变成 $\left(2\sum _{i=1}^{n/p}\phi (i)\right)-1$
我们可以先预处理出 $\phi$ 的前缀和，然后就能实现 $\Theta (1)$ 计算
外面再套个枚举 $p$ 的循环就行了
时间复杂度瓶颈其实在预处理上 为 $\Theta (n)$

代码对式子又有一些小改动 不过不影响大致思路

#include<cstdio>
const int N=10000010;
int n,t,cnt,p[500000],v[N],phi[N]; long long S,s[N];
int main() {
	scanf("%d",&n); phi[1]=s[1]=1;
	for (int i=2; i<=n; ++i) {
		v[i]||(p[++cnt]=i,phi[i]=i-1);
		for (int j=1; j<=cnt&&1ll*p[j]*i<=n; ++j) {
			v[t=p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]) phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
			else { phi[t]=phi[i]*p[j]; break; }
		}
		s[i]=s[i-1]+phi[i];
	}
	for (int i=1; i<=cnt; ++i) S+=s[n/p[i]];
	printf("%lld\n",(S<<1)-cnt);
	return 0;
}