高斯分布的一些性质

高斯分布（Gaussian Distribution），也称正态分布，是概率论和统计学中最重要的分布之一。以下是它的一些关键性质和特点：

---

1. 概率密度函数 (PDF)
高斯分布的概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：

• $\mu$ 是均值，决定分布的中心位置。

• ${\sigma }^2$ 是方差，$\sigma$ 是标准差，决定分布的宽度（或离散程度）。

---

2. 对称性

• 高斯分布以均值 $\mu$ 为中心，对称分布。

• 左右两侧的分布完全相同。

---

3. 均值、方差和期望

• 均值：$$\mathbb{E}[X]=\mu$$

• 方差：$$\text{Var}(X)={\sigma }^2$$

• 标准差：$\sigma$

这些参数完全描述了一个高斯分布。

---

4. 标准正态分布 标准正态分布是高斯分布的特例，当 $\mu =0$ 和 ${\sigma }^2=1$$ 时：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

任何正态分布都可以通过标准化变为标准正态分布：
$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$
其中 $Z$ 是标准正态随机变量。

---

5. 累积分布函数 (CDF)
高斯分布的累积分布函数为：
$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$
对于标准正态分布，CDF 通常记作 $$\Phi (x)$$。没有解析解，通常通过数值方法计算。

---

**
高斯分布（Gaussian Distribution），也称正态分布，是概率论和统计学中最重要的分布之一。以下是它的一些关键性质和特点：

---

1. 概率密度函数 (PDF)
高斯分布的概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：

• $\mu$ 是均值，决定分布的中心位置。

• ${\sigma }^2$ 是方差，$\sigma$ 是标准差，决定分布的宽度（或离散程度）。

---

2. 对称性

• 高斯分布以均值 $\mu$ 为中心，对称分布。

• 左右两侧的分布完全相同。

---

3. 均值、方差和期望

• 均值：$\mathbb{E}[X]=\mu$

• 方差：$\text{Var}(X)={\sigma }^2$

• 标准差：$\sigma$

这些参数完全描述了一个高斯分布。

---

4. 标准正态分布 标准正态分布是高斯分布的特例，当 $\mu =0$ 和 ${\sigma }^2=1$ 时：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

任何正态分布都可以通过标准化变为标准正态分布：
$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$
其中 $Z$ 是标准正态随机变量。

---

5. 累积分布函数 (CDF)
高斯分布的累积分布函数为：
$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$
对于标准正态分布，CDF 通常记作 $\Phi (x)$。没有解析解，通常通过数值方法计算。

---

6. $68-95-99.7$ 规则
   对于一个高斯分布：

• $68\%$ 的数据在 $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$ 范围内。

• $95\%$ 的数据在 $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$ 范围内。

• $99.7\%$ 的数据在 $[\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]$ 范围内。

---

7. 可加性 如果 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 且 $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 $X$ 和 $Y$ 独立，则：
$$Z=X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

---

8. 最大熵分布 在所有均值为 $\mu$ 且方差为 ${\sigma }^2$ 的概率分布中，高斯分布是最大熵分布，即它最随机、信息最少。

---

9. 平稳性和闭包性

• 高斯分布在加权求和时保持高斯性（例如线性变换、独立高斯变量相加）。

• 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，且 $Y=aX+b$，则：
  $$Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$$

---

10. 特征函数和生成函数

• 特征函数：$${\varphi }_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}]=e^{it\mu -\frac{1}{2}{t}^2{\sigma }^2}$$

• 矩母函数：$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=e^{t\mu +\frac{1}{2}{t}^2{\sigma }^2}$$

---

11. 高斯分布的卷积 如果两个独立随机变量 $X$ 和 $Y$ 都是高斯分布，则它们的卷积仍然是高斯分布：
$$Z=X+Y\sim N({\mu }_X+{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)$$

---

12. 中心极限定理
许多独立同分布随机变量的和在样本数量趋于无穷大时，其分布趋于高斯分布，无论原始分布为何种形状。

---

这些性质让高斯分布在概率论、统计学、信号处理、机器学习等领域广泛应用。