【数模学习笔记】TOPSIS优劣解距离法

声明：以下笔记中的图片均来自“数学建模学习交流”清风老师的课程ppt，仅用作学习交流使用

TOPSIS

全称 Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution 逼近理想解排序法

topsis能充分利用原始数据的信息，精确地反映各评价方案之间的差距
可以解决层次分析法中决策层数据已知的情况，使评价结果更准确

步骤

第一步 原始矩阵正向化

常见的四种指标：极大型（效益型）指标、极小型（成本型）指标、中间型指标、区间型指标

一般将其他三种指标化为极大型指标，这个过程被称之为指标正向化

极小型指标–>极大型指标

$$x=>max-x$$
当所有指标均为正数时，也可以
$$x=>\frac{1}{x}$$

中间型指标–>极大型指标

$x_{best}$为最佳指标
M = m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } M=max{ \{|x_i-x_{best}|\} } M=max{∣xi​−xbest​∣}
$$\widetilde{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$$
例如

区间型指标–>极大型指标

$[a,b]$为最佳区间
M = m a x { a − m i n x i , m a x x i − b } M=max\{a-min{x_i},max{x_i}-b\} M=max{a−minxi​,maxxi​−b}

$$\widetilde{x_i}=\{\begin{array}{rcl}1-\frac{a-x_i}{M},& & x_i<a\\ 1,& & a\le x_i<b\\ 1-\frac{x_i-b}{M},& & x_i>b\end{array}$$

例如

第二步 正向化矩阵标准化

标准化以消除指标量纲不同的影响

此时标准化矩阵可能会存在负数，但是并不影响正常topsis的计算过程，但是当运用到熵权法时，则要求标准化矩阵都是正数，故需要将正向化矩阵进行另一种标准化方法，具体操作见后文。

第三步 计算得分并归一化

补充：如果各项指标带权重的话，只需要在每个欧氏距离前乘上对应权重即可

最后按照得分排序即可

带权重的TOPSIS

层次分析法

有n个评价对象，m个指标，可以根据层次分析法对这m个指标赋权重，缺点是层次分析法主观性太强

基于熵权法对于TOPSIS模型的修正

• 熵权法依据的原理： 指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
  （一种极端的例子：对于所有的样本而言，这个指标都是相同的数值，那么我们可认为这个指标的权值为0，即这个指标对于我们的评价起不到任何帮助）
• 事情发生的概率越大，所包含的信息量越小；反之同理。
  假设$x$表示事件$X$可能发生的某种情况，$p(x)$表示这种情况发生的概率，我们可以定义：$$I(x)=-ln(p(x))$$

且由于$0\le p(x)\le 1$ 故 $I(x)\ge 0$
那么事件$X$的信息熵为：
$$H(X)=\sum _{i=1}^n[p(x_i)I(x_i)]=-\sum _{i=1}^n[p(x_i)ln(p(x_i))]$$
可以证明当$p(x_1)=p(x_2)=p(x_3)=...=p(x_n)=\frac{1}{n}$时，$H(X{)}_{max}=\ln n$

随机变量的信息熵越大，则它的值能够给当前信息所补充的信息量越大，而已有的信息量越小。熵权法所关注的是已有的信息量，所以信息熵越大，信息越小。

步骤

第一步 正向化矩阵标准化

若$X$中本身存在不负数，则执行TOPSIS第二步，即$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$ ，从而得到标准化矩阵$Z$。
若$X$中本身存在负数，则需要对其执行另一种标准化方法，即 z i j ~ = x i j − m i n { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } m a x { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } − m i n { x 1 j , x 2 j , . . . , x n j } \tilde{z_{ij}}=\frac{x_{ij}-min\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}}{max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}-min\{x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}\}} zij​~​=max{x1j​,x2j​,...,xnj​}−min{x1j​,x2j​,...,xnj​}xij​−min{x1j​,x2j​,...,xnj​}​

第二步 计算概率矩阵

$$p_{ij}=\frac{\widetilde{z_{ij}}}{{\sum }_{i=1}^n\widetilde{z_{ij}}}$$
即每个数除以所在列和

容易验证${\sum }_{i=1}^n{p}_{ij}=1$ 即保证各列和为1，即每个指标的概率和为1

第三步 计算每个指标的熵权

• 计算信息熵：$$e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\ln (p_{ij}),(j=1,2,...,m)$$
  与前面的$H(X)$相比多除以了一个常数，是为了使信息熵和信息效用值落在$[0,1]$
• 计算信息效用值：$$d_j=1-e_j$$
  可以理解为是将信息熵正向化，这样信息效用值就和信息量以及权重成正比了
• 计算熵权：$$W_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^m{d}_j}$$
  即实现信息效用值归一化

最后利用熵权计算得分即可