数学建模——TOPSIS法（优劣解距离法）学习笔记（一）

一、TOPSIS方法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息， 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理） 得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

本部分的代码讲解部分参照第二篇博客：评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）matlab代码实现 学习笔记（二） 

 例题1：请你为以下四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

                                   

分析：此评价指标只有一项即“成绩”，评价对象为4个。topsis分析方法如下：

解：

     1.取指标成绩中，最高成绩max ： 99        最低成绩min：60

         构造计算评分的公式：

      2.根据评分公式为每一评价对象进行打分，构建如下评分表格、并归一化

     

       3.打分完成，接下来可以由评分确定谁的成绩最好，谁的最差。可见，清风的成绩最好，小王的最差

例题2：请你为以下四名同学进行评分，该评分能合理的描述其综合评价。

       

分析：例题1考虑的评价指标只有一个，例题2转化为两个评价指标，且评价时指标一（成绩）应该越大越好，指标二（与他人争吵次数）应该越小越好。这就引发矛盾，怎么确定评分使得兼顾两种不同取向的指标？

注：成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

 解：

      1.将所有的指标转化为极大型指标，即指标正向化。

                极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x

       正向化后得到的表格如下：

                        

        2. 为了消去不同指标量纲的影响， 需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

         标准化处理的计算公式

         

        即每个元素除以其所在列各元素平方和的开方

          

          3. 计算评分

首先看一下，两个指标的评分公式怎么推导的

                    

           类比只有一个指标计算得分  

 即：取各列元素的最大值，组成一个列向量Z+，取各列元素的最小值，组成一个列向量Z-，计算每列元素与最大值组成的列向量Z+的距离D+，与最小值组成的列向量Z-的距离D-，在根据评分公式：D-/(D+ + D-）为每个对象进行打分。

根据上面的评分公式，为各评价对象进行打分 

                 

                   

     4.打分完成，进行数据分析

       由综合评分可以看出，小王的评分最高，其成绩和与他人争吵次数的综合评价指标中是最好的；清风最差，即使其成绩是最好的，但是在与他人争吵的评分这项指标中，其与他人差别过大，此项导致其综合评分最低，由此可见指标二的评分在整个评分中作用更关键。

二、 其他指标正向化方法

前面介绍了评价指标只有一种、以及评价指标有两种，且一种是极小型指标的例子。在例题二中，极小型指标要转化为极大型指标才能参与运算，常见的还有其他两种非极大型指标：中间型和区间型指标。下面介绍其如何转为极大型，即指标正向化。

  

1）、中间型指标 ——>极大型指标  

例如： 水质量评估 PH 值指标正向化，PH值取7时水质最好

          

2）、区间型指标——>极大型指标

例如： 例如人的体温在36摄氏度~37摄氏度这个区间内最好

可以看出，在区间内的36.6度评分最高为1，距离其越远的评分越低 

三、TOPSIS方法总结

1、如果有多个指标且不全是极大型指标，则进行指标正向化。

2、之后对正向化矩阵进行标准化，目的是消除不同指标量纲的影响。 

正向化方法：

         

3. 计算得分

           

4.归一化评分

   即每个分数除以所有分数和 

综合例题4：评价下表中A-T共20条河流的水质情况

已知：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10-20之间最佳，超

过20或低于10均不好。

 

解：1、将各项指标正向化

PH值（中间型转极大型）、细菌总数（极小型转极大型）、植物性营养物量（区间型转极大型） 

具体求解见评价类模型——评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）matlab代码实现 学习笔记（二） 

2、正向化后的矩阵进行标准化

3、进行打分（20个评价对象，4个评价指标）

4、分数归一化

5、分析评分，最高得分的河流水质最好