Modern Robotics指数坐标推导雅可比（Jacobian）

最新推荐文章于 2025-05-16 22:50:57 发布

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#雅克比 #Modern Robotics #指数坐标 #C语言

本文详细介绍了现代机器人学中雅可比矩阵的概念及其推导过程，包括空间雅可比与物体雅可比，并通过实例展示了如何计算具体机器人的雅可比矩阵。

Modern Robotics指数坐标推导雅可比（Jacobian）

在这里插入图片描述

空间雅可比(Space Jacobian)

假设一个开链机构的正运动学以指数积形式写成
$T(\theta)=e^{[\mathcal S_1]\theta_1}\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M.$
空间雅可比 $J_s(\theta)\in \mathbb R^{6\times n}$ 关联了关节速度向量 $\dot \theta \in\mathbb R^n$ 和空间旋量 $\mathcal V_s$ ，即 $\mathcal V_s=J_s(\theta)\dot \theta$ 。 $J_s(\theta)$ 第 $i$ 列由下式确定
$J_{si}(\theta)=Ad_{e^{[\mathcal S_1]\theta_1}...e^{[\mathcal S_{i-1}]\theta_{i-1}}}(\mathcal S_i),$
对于 $\dots, n,$ 第1列 $J_{s1}=\mathcal S_1$ 。螺旋矢量 $J_{si}$ 的物理意义是在任意非零关节角度 $\theta$ 下，第 $i$ 个关节在空间固定坐标系下的表达。

推导：

已知正运动学指数形式表达为
$T(\theta)=e^{[\mathcal S_1]\theta_1}\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M.\tag{5.5}$
空间旋量 $\mathcal V_s$ 由齐次变换矩阵给出 $[\mathcal V_s]=\dot TT^{-1}$ , 其中
$\dot T=(\frac {d}{dt}e^{[\mathcal S_1]\theta_1})\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M+e^{[\mathcal S_1]\theta_1}(\frac{d}{dt}e^{[\mathcal S_2]\theta_2})\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M+\dots\\ =[\mathcal S_1]\dot \theta_1e^{[\mathcal S_1]\theta_1}\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M+e^{[\mathcal S_1]\theta_1}[\mathcal S_2]\dot \theta_2e^{[\mathcal S_2]\theta_2}\dots e^{[\mathcal S_n]\theta_n}M+\dots\\$
也有
$T^{-1}=M^{-1}e^{-[\mathcal S_n]\theta_n}\dots e^{-[\mathcal S_1]\theta_1}.$
计算 $\dot TT^{-1}$ 得到
$[\mathcal V_s]=[\mathcal S_1]\dot \theta_1+e^{[\mathcal S_1]\dot \theta_1}[\mathcal S_2]e^{-[\mathcal S_1]\dot \theta_1}+e^{[\mathcal S_1]\dot \theta_1}e^{[\mathcal S_2]\dot \theta_2}[\mathcal S_3]e^{-[\mathcal S_1]\dot \theta_1}e^{-[\mathcal S_2]\dot \theta_2}+\dots$