【BOI2012】Mobile(mobile)

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#BOI #单调队列 #中垂线 #最近距离最大

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针对Totalphone公司的基站布局问题，本文提出了一种算法来确定高速公路上基站的最佳位置及最大覆盖距离，通过去除无效基站并利用单调队列优化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

著名的手机网络运营商Totalphone 修建了若干基站收发台，以用于把信号网络覆盖一条新建的高速公路。因为Totalphone 的程序员总是很马虎的，所以，基站的传功功率不能独立设置，只能将所有新基站的功率设置为一个相同的值。为了让能源的消耗尽量少，公司希望知道公路中任意点到最近基站距离的最大值。

Solution

首先我们可以考虑对答案有贡献的点会满足什么条件？假设现在有两个点，把它们连线，做这条连线的中线，倘若这条中线交在x轴上的某一点D，很明显在D点的左边到横坐标更小的点的距离更近，右边的到横坐标更大的点更近（附图）。
这里写图片描述
扩展到三个点，若是第一个点与第二个点的中垂线和第二个点与第三个点的中垂线相交在x轴上方，那第二个点是永远不会对答案有贡献（附图）。

对于这些无用的点，显然可以用一个单调队列把它们去掉，剩下的点都是有可能作为最优答案的，剩下的点直接计算取最优质就可以了。还应该要把中垂线在x轴交点超过公路长度范围的点去掉，因为它们是不会有贡献的，预处理出x坐标相同时，只保留y轴绝对值较小的点就可以了，ans初值应是（0，0）和（len，0）点的贡献。

Code

#include<algorithm> 
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define sqr(x) pow(x,2)
typedef double db;
const int maxn=1e6+5;
int n,m,st,x,y,i,d[maxn][2],l[maxn],r[maxn],sum,a[maxn][2],zf,tot;
db z[maxn],ans,dis,dis1,dis2;
bool bz;
char ch;
int read(){
    ch=getchar();tot=0;zf=1;
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') zf=-1;
        ch=getchar();
    }
    while('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+zf*(ch-'0'),ch=getchar();
    return tot;
}
db calc(db x,db y,db xx,db yy){
    return (sqr(x)+sqr(y)-sqr(xx)-sqr(yy))/(2*(x-xx));
}
int main(){
    freopen("mobile.in","r",stdin);
    freopen("mobile.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    sum=0;
    fo(i,1,n){
        x=read();y=read();
        if(sum==0||x!=a[sum][0]) sum++,a[sum][0]=x,a[sum][1]=y;
        else if(x==a[sum][0]&&abs(a[sum][1])>abs(y))
             a[sum][0]=x,a[sum][1]=y;
    }
    n=sum;sum=0;st=1;
    dis1=dis2=1e20;
    fo(i,1,n){
        dis1=min(dis1,sqr(a[i][0])+sqr(a[i][1]));
        dis2=min(dis2,sqr(a[i][0]-m)+sqr(a[i][1]));
    }
    ans=max(dis1,dis2);
    fo(i,1,n){
        sum++,d[sum][0]=a[i][0],d[sum][1]=a[i][1];
        l[sum]=r[sum-1],r[sum]=i;
        if(sum>=2) z[sum]=calc(d[sum-1][0],d[sum-1][1],d[sum][0],d[sum][1]);
        while(sum-st+1>2){
            bz=false;
            if(z[sum-1]>=z[sum]){
                d[sum-1][0]=d[sum][0],d[sum-1][1]=d[sum][1];
                r[sum-1]=r[sum],r[sum]=l[sum]=0;
                sum--; 
                z[sum]=calc(d[sum-1][0],d[sum-1][1],d[sum][0],d[sum][1]);
                bz=true;
            }
            if(sum-st+1>2&&z[st+1]<0) st++,bz=true;
            if(!bz) break;
        }
    }
    fo(i,st+1,sum){
        if(z[i]>m) break;
        dis=sqr(a[l[i]][0]-z[i])+sqr(a[l[i]][1]);
        if(dis>ans)
            ans=dis;
    }
    printf("%.6lf",sqrt(ans));
}