【 bzoj 3759 】 Hungergame

最新推荐文章于 2018-07-19 15:04:00 发布

GEOTCBRL

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分类专栏：博弈论

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本文探讨了一种类似于Nim游戏的策略游戏，通过分析不同状态下先手玩家的胜负情况，给出了先手必胜的充分必要条件，并提供了一个简单的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　　似乎是在美术课上听老师扯淡的时候突然YY出来的？
　　如果所有的箱子都是打开的，那么就是Nim游戏，直接看Nim和也就是异或和是否为0，是的话先手就输。但是现在有些箱子是打开的，同样也可以尝试用一般Nim游戏的思路来看这道题。
　　根据终态，很容易可以出猜测出如果打开的箱子的Nim和为0的时候先手必败。但是这是有条件的，必须要把最大的的Nim和为0的子集先打开，否则即使当前Nim和为0，后手仍然可以把剩余的Nim和为0的子集打开，这样就会改变状态。
　　下面分情况讨论一下。
　　如果存在Nim和为0的子集，那么先手先把最大的子集打开，此时未开的箱子里不存在Nim和为0的子集。后手如果在开了的箱里取数，就照Nim游戏那样玩。如果后者打开关着的箱，此时开着的箱的Nim和不为0，同样照Nim游戏那样玩。总之不论怎么搞，先手都可以像普通的Nim游戏一样把Nim和取到0。故此时先手必胜。
　　如果不存在Nim和为0的子集，那么先手不论开哪些箱，后手总可以使Nim和改为0，故此时先手必败。
　　因此就可以得到先手必胜当且仅当存在子集异或和为0的结论。
　　数据范围很小，直接暴力状压就能A。
　　时间复杂度 $O(Tn2^n)$ 。那些0ms的是smg = =

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define For(i,a,b) for(int i=a;i< b;i++)
#define shl(i) (1 << (i))

inline int rd() {
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) c = getchar() ; int x = c - '0';
    while (isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0';
    return x;
}

int n , a[21];

void input() {
    n = rd();
    For (i , 0 , n) a[i] = rd();
}

void solve() {
    int all = shl(n);
    For (s , 1 , all) {
        int sg = 0;
        For (i , 0 , n) if (shl(i) & s) sg ^= a[i];
        if (!sg) {
            puts("Yes");
            return;
        }
    }
    puts("No");
}

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.txt" , "r" , stdin);
    #endif
    per (T , rd() , 1) {
        input();
        solve();
    }
    return 0;
}