Energy Density Conservation Equation

Thermal energy evolution equation
∂U∂t=−∇⋅q−∇⋅(Uv)−∇⋅(P⋅v)+v⋅(∇⋅P) \frac{\partial U}{\partial t}=-\bm{\nabla \cdot q}-\bm{\nabla \cdot} (U\bm{v})-\bm{\nabla \cdot }(\bm{{\rm P}\cdot v}) + \bm{v \cdot}(\bm{\nabla \cdot {\rm P}}) tU=q(Uv)(Pv)+v(P)

UUU is the thermal energy density. ttt is the time. q\bm{q}q is the heat flux vector. v\bm{v}v is the bulk velocity. P\bm{\rm P}P is the pressure tensor.

Continuity equation
∂n∂t+∇⋅(nv)=0 \frac{\partial n}{\partial t} + \bm{\nabla \cdot} (n \bm{v}) = 0 tn+(nv)=0

Where nnn is the number density of a species.

Because
U=12(Pxx+Pyy+Pzz) U=\frac{1}{2}(P_{xx}+P_{yy}+P_{zz}) U=21(Pxx+Pyy+Pzz)

We consider the kinetic temperature TTT
T=13Pxx+Pyy+Pzzn T=\frac{1}{3}\frac{P_{xx}+P_{yy}+P_{zz}}{n} T=31nPxx+Pyy+Pzz

Then, the relationship between thermal energy UUU and temperature TTT
U=32nT U=\frac{3}{2}nT U=23nT

Then
∂U∂t=∂∂t(32nT)=32T∂n∂t+32n∂T∂t=32n∂T∂t−32T∇⋅(nv) \frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{3}{2}nT)=\frac{3}{2}T\frac{\partial n}{\partial t} + \frac{3}{2}n\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{3}{2}n\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{3}{2}T\bm{\nabla \cdot}(n \bm{v}) tU=t(23nT)=23Ttn+23ntT=23ntT23T(nv)

And
∇⋅(P⋅v)=v⋅(∇⋅P)+(P⋅∇)⋅v \bm{\nabla \cdot }(\bm{{\rm P} \cdot v})=\bm{v \cdot } (\bm{\nabla \cdot {\rm P}})+(\bm{{\rm P}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} (Pv)=v(P)+(P)v

Then
∂U∂t=−∇⋅q−∇⋅(Uv)−(P⋅∇)⋅v \frac{\partial U}{\partial t}=-\bm{\nabla \cdot q}-\bm{\nabla \cdot} (U\bm{v})-(\bm{{\rm P}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} tU=q(Uv)(P)v

And
∇⋅(Uv)=∇⋅(32nTv)=32T∇⋅(nv)+32nv⋅∇T \bm{\nabla \cdot} (U\bm{v})=\bm{\nabla \cdot} (\frac{3}{2}nT\bm{v})=\frac{3}{2}T\bm{\nabla \cdot}(n\bm{v})+\frac{3}{2}n\bm{v \cdot \nabla}T (Uv)=(23nTv)=23T(nv)+23nvT

Then
32n∂T∂t−32T∇⋅(nv)=−∇⋅q−32T∇⋅(nv)−32nv⋅∇T−(P⋅∇)⋅v \frac{3}{2}n\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{3}{2}T\bm{\nabla \cdot}(n \bm{v}) = -\bm{\nabla \cdot q} - \frac{3}{2}T\bm{\nabla \cdot}(n\bm{v}) - \frac{3}{2}n\bm{v \cdot \nabla}T - (\bm{{\rm P}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} 23ntT23T(nv)=q23T(nv)23nvT(P)v

32n∂T∂t=−∇⋅q−32nv⋅∇T−(P⋅∇)⋅v \frac{3}{2}n\frac{\partial T}{\partial t} = -\bm{\nabla \cdot q} - \frac{3}{2}n\bm{v \cdot \nabla}T - (\bm{{\rm P}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} 23ntT=q23nvT(P)v

Then
32n(∂T∂t+v⋅∇T)=−∇⋅q−(P⋅∇)⋅v \frac{3}{2}n(\frac{\partial T}{\partial t} + \bm{v \cdot \nabla}T) = -\bm{\nabla \cdot q} - (\bm{{\rm P}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} 23n(tT+vT)=q(P)v

Let
P=P−pI+pI=P′+pI \bm{{\rm P=P}}-p\bm{{\rm I}}+p\bm{{\rm I}} = \bm{{\rm P'}}+p\bm{{\rm I}} P=PpI+pI=P+pI

Where I\bm{\rm I}I is the unit tensor, and ppp is the scalar pressure.

Then
32n(∂T∂t+v⋅∇T)=−∇⋅q−(P′⋅∇)⋅v−p(I⋅∇)⋅v \frac{3}{2}n(\frac{\partial T}{\partial t} + \bm{v \cdot \nabla}T) = -\bm{\nabla \cdot q} - (\bm{{\rm P'}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} - p(\bm{{\rm I}\cdot \nabla})\bm{\cdot v} 23n(tT+vT)=q(P)vp(I)v

Finally, the energy density conservation equation is
32n(∂T∂t+v⋅∇T)+p∇⋅v=−∇⋅q−(P′⋅∇)⋅v \frac{3}{2}n (\frac{\partial T}{\partial t}+\bm{v} \bm{\cdot \nabla}T)+p\bm{\nabla \cdot v}=-\bm{\nabla \cdot q}-(\bm{{\rm P'} \cdot \nabla})\bm{\cdot v} 23n(tT+vT)+pv=q(P)v

分布式微服务企业级系统是一个基于Spring、SpringMVC、MyBatis和Dubbo等技术的分布式敏捷开发系统架构。该系统采用微服务架构和模块化设计,提供整套公共微服务模块,包括集中权限管理(支持单点登录)、内容管理、支付中心、用户管理(支持第三方登录)、微信平台、存储系统、配置中心、日志分析、任务和通知等功能。系统支持服务治理、监控和追踪,确保高可用性和可扩展性,适用于中小型企业的J2EE企业级开发解决方案。 该系统使用Java作为主要编程语言,结合Spring框架实现依赖注入和事务管理,SpringMVC处理Web请求,MyBatis进行数据持久化操作,Dubbo实现分布式服务调用。架构模式包括微服务架构、分布式系统架构和模块化架构,设计模式应用了单例模式、工厂模式和观察者模式,以提高代码复用性和系统稳定性。 应用场景广泛,可用于企业信息化管理、电子商务平台、社交应用开发等领域,帮助开发者快速构建高效、安全的分布式系统。本资源包含完整的源码和详细论文,适合计算机科学或软件工程专业的毕业设计参考,提供实践案例和技术文档,助力学生和开发者深入理解微服务架构和分布式系统实现。 【版权说明】源码来源于网络,遵循原项目开源协议。付费内容为本人原创论文,包含技术分析和实现思路。仅供学习交流使用。
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