带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹推导

设质量为$m$，带电荷量为q的带电粒子在匀强磁场$\vec{B}$中运动，某一时刻的运动速度为$\vec{v}$，则其运动方程为
$$m\dot{\vec{v}}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

其中 $\dot{\vec{v}}$ 为速度 $\vec{v}$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即加速度。
在运动方程等号两侧点乘$\vec{v}$，由于 $\vec{v}\cdot (\vec{v}\times \vec{B})=0$，可以得到
$$m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \vec{v}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m{v}^2}{2}\right)=0$$

即粒子在匀强磁场中运动时，动能守恒。
建立空间直角坐标系，设磁场沿 $z$ 方向，即 $\vec{B}=B\vec{k}$，$\vec{k}$为沿 $z$ 方向的单位矢量。则有$B_x=B_y=0$，$B_z=B$。令
$$\omega =\left|\frac{qB}{m}\right|$$

将运动方程写成分量形式，有
$${\dot{v}}_x=\omega v_y$$

$${\dot{v}}_y=-\omega v_x$$

$${\dot{v}}_z=0$$

可以看出，粒子平行与磁场方向的速度 $v_{||}=v_z$ 是个常量。将上述方程再对时间求导，变成速度对时间的二阶导，可得
$${\ddot{v}}_x=\omega {\dot{v}}_y=-{\omega }^2{v}_x$$

$${\ddot{v}}_y=\omega {\dot{v}}_x=-{\omega }^2{v}_y$$

这两个方程是谐振子方程，其解为
$$v_x=v_{x0}\sin (\omega t+{\psi }_0)$$

$$v_y=v_{y0}\cos (\omega t+{\psi }_0)$$

其中 $v_{x0}$，$v_{y0}$分别为初始时刻速度的$x$，$y$分量，${\psi }_0$为初始时刻速度在 $X-Y$ 平面的投影与 $x$ 轴的夹角。将上述方程对时间积分，可以得到
$$x-x_0=-\frac{v_{x0}}{\omega }\cos (\omega t+{\psi }_0)$$

$$y-y_0=\frac{v_{y0}}{\omega }\sin (\omega t+{\psi }_0)$$

对上面两式取平方和，消去三角函数，得到
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=\frac{v_{\perp 0}^2}{{\omega }^2}$$

其中$ v_{\bot 0} $ 为初始时刻垂直磁场方向的速度（初始时刻速度在 $X-Y$ 平面的投影）。令
$$r=\frac{v_{\perp 0}}{\omega }=\frac{m{v}_{\perp }}{|q|B}$$

则
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$$

该方程是圆的轨迹方程。即粒子在匀强磁场中运动时，在平行于磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向做匀速圆周运动。