平面极坐标系下质点的运动方程

一、平面极坐标系定义

1. 定义

在参考系上取一点 $O$ 称为极点，由 $O$ 点引一有刻度的射线，称之为极轴，即构成极坐标系。

2. 极坐标系

质点的位置 $P$ 由极径 $\rho$ 和幅角 $\theta$ 给出。如下图所示。

$\rho$ ：极径，极点到质点的距离
$\theta$：幅角或极角，极径与极轴的夹角，规定角度取逆时针方向为正

3. 正交单位矢量

• 径向单位矢量 $\mathbf{i}$ ：方向从极点指向质点。则矢径 $\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$。
• 横向单位矢量 $\mathbf{j}$ ：方向与径向单位矢量垂直，且指向 $\theta$ 增加的方向。

4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

设初始时刻质点位置为$P_1$，经过时间$dt$，质点位置为$P_2$，幅角变化量为$d\theta$。如下图所示。

4.1 径向单位矢量$\mathbf{i}$

经过时间$dt$，径向单位矢量由${\mathbf{i}}_1$变化到${\mathbf{i}}_2$，转过的角度为$d\theta$。
$$d\mathbf{i}={\mathbf{i}}_2-{\mathbf{i}}_1$$

由于$\mathbf{i}$为单位矢量，且$dt$为趋于$0$的微元。所以$d\mathbf{i}$的大小即为以$|\mathbf{i}|$为半径，角度为$d\theta$所对应的弧长（单位矢量$\mathbf{i}$从${\mathbf{i}}_1$旋转到${\mathbf{i}}_2$时，箭头末端所经过的路程），其大小为：
$$|d\mathbf{i}|=|\mathbf{i}|\cdot d\theta =d\theta$$

$d\mathbf{i}$的方向为从${\mathbf{i}}_1$的末端指向${\mathbf{i}}_2$的末端，当$dt$趋于$0$时，$d\mathbf{i}$的方向垂直于$\mathbf{i}$并且指向$\theta$的增加方向，所以$d\mathbf{i}$与$\mathbf{j}$同向。即：
$$d\mathbf{i}=\mathbf{j}d\theta$$

对时间的导数为
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

4.2 横向单位矢量$\mathbf{j}$

同理，经过时间$dt$，横向单位矢量由${\mathbf{j}}_1$变化到${\mathbf{j}}_2$，转过的角度为$d\theta$。
$$d\mathbf{j}={\mathbf{j}}_2-{\mathbf{j}}_1$$

其大小为
$$|d\mathbf{j}|=|\mathbf{j}|\cdot d\theta =d\theta$$

其方向与径向单位矢量$\mathbf{i}$反向，所以横向单位矢量对时间的导数为
$$\frac{d\mathbf{j}}{dt}=-\mathbf{i}\frac{d\theta }{dt}$$

二、极坐标系下运动方程

• 运动学方程：$r=r(t)$,\hspace{0.3cm} $\theta =\theta (t)$
• 质点位置矢量：$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$
• 质点轨迹方程：$r=r(\theta )$

三、极坐标系中的速度

在极坐标系中
$$\mathbf{r}=\rho \mathbf{i}$$

速度
$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(\rho \mathbf{i})}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\mathbf{i}}{dt}$$

又
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{j}\frac{d\theta }{dt}$$

所以
$$\mathbf{v}=\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}=v_r\mathbf{i}+v_{\theta }\mathbf{j}$$

• 径向速度$v_r=\frac{d\rho }{dt}$，由位矢的量值变化所引起的；
• 横向速度$v_{\theta }=\rho \frac{d\theta }{dt}$，由位矢方向的变化所引起的，其中$\omega =\frac{d\theta }{dt}$为角速度。

总的速度大小
$$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_r^2+v_{\theta }^2}=\sqrt{(\frac{d\rho }{dt}{)}^2+(\rho \frac{d\theta }{dt}{)}^2}$$

四、极坐标系中的加速度

由加速度定义
$$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i}+\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})$$

其中
$$\frac{d}{dt}(\frac{d\rho }{dt}\mathbf{i})=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\frac{d^2\rho }{d{t}^2}\mathbf{i}+\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}$$

$$\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta }{dt}\mathbf{j})=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}+\rho \frac{d\theta }{dt}\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}\mathbf{j}+\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\mathbf{j}-\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2\mathbf{i}$$

由此可得
$$\mathbf{a}=[\frac{d^2\rho }{d{t}^2}-\rho (\frac{d\theta }{dt}{)}^2]\mathbf{i}+[\rho \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{d\rho }{dt}\frac{d\theta }{dt}]\mathbf{j}=a_r\mathbf{i}+a_{\theta }\mathbf{j}$$

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