hdu 5607 BestCoder Round #68 (矩阵快速幂)

最新推荐文章于 2017-08-27 12:30:25 发布

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本文探讨了在有向图中求解从某点出发，经过特定步数后到达各个点的概率问题，通过矩阵快速幂解决，适用于图论和算法竞赛。

题意：

graph

Accepts: 9

Submissions: 61

Time Limit: 8000/4000 MS (Java/Others)

Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

问题描述

在一个 $N$ 个点(标号 $1$ ~ $n$ ), $M$ 条边的有向图上,一开始我在点 $u$ ,每一步我会在当前点的出边中等概率的选一条走过去,求走了恰好 $K$ 步后走到每个点的概率.

输入描述

第一行两个正整数 $N, M$ ,表示点数和边数.
接下来 $M$ 行,每行两个正整数 $X, Y$ .表示一条 $X$ 向 $Y$ 的一条有向边(保证没有重边和自环).
接下来一个正整数 $Q$ ,表示询问个数.
接下来 $Q$ 行,每行两个正整数 $u, K$ ,表示开始的点和步数.
 $\leq 50, M \leq 1000, Q \leq 20, u \leq n, K \leq 10^{9}$ .
每个点保证至少有一个出边.

输出描述

 $Q$ 行,每行 $N$ 个数字,用空格隔开,第 $i$ 个数字表示从 $u$ 开始走 $K$ 步到 $i$ 的概率.
考虑到输出的答案可能会有精度问题,经过一定的分析后可以发现答案一定可以被表示成 $\frac{X}{Y}$ 的形式,你只需输出 $\times Y^{10^9+5} \ mod \ (10^9+7)$ 的值即可.

在每行后面多输出一个空格,否则可能会使你PE.

输入样例

输出样例

0 500000004 500000004

Hint

这是一个三个点,两条边的有向图,它们分别是 $(1 - > 2, 1 - > 3)$ .现在在1号点,走了一步后,有1/2的概率走到了2,有1/2的概率走到了3,本来应该输出 0 0.5 0.5
而根据上面所说的,应输出 $1*2^{10^9+5} \ mod \ (10^9+7)=500000004$ .

思路：

矩阵经典问题：求从i点走k步后到达j点的方案数(mod p)。

本题输出X/Y,可以看成X是u走k步到j的方案数,Y是从u走k步的所有方案数

于是对矩阵先进行处理,即给m[i][j]乘上节点i的出度的1e9+5次方。

(ma.m[i][j]*(ll)pow_mod(g[i],1e9+5,MOD))%MOD;

再用矩阵快速幂即可


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const ld eps=1e-10;
const int inf = 0x3f3f3f;
const int maxn = 55;
const int MOD = 1e9+7;
ll n;
int g[55];
struct Matrix
{
    ll m[maxn][maxn];
    Matrix()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};

Matrix multi(Matrix a,Matrix b,ll mod)
{
    Matrix tmp;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            for(int k = 1; k <= n; k++)
            {
                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j]+(a.m[i][k] * b.m[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return tmp;
}

Matrix Pow(Matrix a,int m,int p)
{
    Matrix t;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        t.m[i][i] = 1;
    while(m)
    {
        if(m & 1)
        {
            t = multi(t,a,p);
            m-=1;
        }
        a = multi(a,a,p);
        m >>= 1;
    }
    return t;
}

ll pow_mod(ll a,ll m,ll p)
{
    a %= p;
    ll t = 1;
    while(m)
    {
        if(m & 1)
        {
            t = t * a%p;
            m-=1;
        }
        a = a*a%p;
        m >>= 1;
    }
    return t%p;
}


int main()
{
    ll m;
    int a,b;
    int q,k,u;
    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&m) != EOF)
    {
        Matrix ma;
        memset(g,0,sizeof(g));
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            ma.m[a][b] ++;
            g[a] ++;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                ma.m[i][j] = (ma.m[i][j]*(ll)pow_mod(g[i],1e9+5,MOD))%MOD;
            }
        }
        scanf("%d",&q);

        while(q--)
        {
            scanf("%d%d",&u,&k);
            Matrix tans =Pow(ma,k,MOD);
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                printf("%I64d ",tans.m[u][j]%MOD);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}