hdu4549(费马小定理 + 快速幂)

最新推荐文章于 2019-07-20 00:43:48 发布

Tyuio28

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分类专栏：数论文章标签： hdu 数论

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来高效计算斐波那契数列的问题，尤其针对大数值的情况。通过矩阵运算，避免了传统递归方式的效率瓶颈，并结合快速幂操作实现优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

把F往后递推可以看出是 f(n)=a^fib(n-1)*b^fib(n),n>=2，然后发现正常推fib并不行，超时（表示并不会用矩阵求）

这题主要是求出fib数列，然后再进行快速幂即可。

费马小定理：如果p为质数且a，p互质 a^(p-1) = 1(mod p)

所以 a^n = a^( n%(p-1) ) * 1 * 1........ (最开始一直不理解费马是怎么转换过来的)

通俗点：

A^B %C 这题的C是质素，而且A，C是互质的。

所以直接A^(B%(C-1)) %C （来自kuangbin大神）

用矩阵快速幂求出fib数列基本就搞定（矩阵部分不会写,果然太菜，啥都不会- -）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 10100
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,m;
unsigned long long a[N],ins[70];
bool flag;
struct Matrix
{
    ll p[2][2];
};


Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < 2; i++)
        for(int j = 0; j < 2; j++)
        {
            res.p[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++)
            {
                res.p[i][j] += a.p[i][k] * b.p[k][j];
                res.p[i][j] %= 1000000006;
            }
        }
    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, ll n)  //矩阵快速幂
{
    Matrix res;
    res.p[0][0] = res.p[1][1] = 1;
    res.p[0][1] = res.p[1][0] = 0;
    while(n != 0)
    {
        if(n & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
ll pow_mod(ll a, ll n) //二分快速幂
{
    if(n == 0) return 1;
    ll x =pow_mod(a,n/2);
    ll ans = x*x%1000000007;
    if(n % 2) ans = ans*a%1000000007;
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b,n;
    Matrix tmp;
    tmp.p[0][0] = 0;
    tmp.p[0][1] = tmp.p[1][1] = tmp.p[1][0] = 1;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF)
    {
        Matrix q = pow_matrix(tmp,n);
        ll ans = 1;
        ans = (pow_mod(a, q.p[0][0]) * pow_mod(b, q.p[1][0])) % 1000000007;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}