2023牛客多校（九）G-Non-Puzzle:Game（线性基）

这道题让我知道了原来还有线性基这种东西，涨姿势了。

线性基介绍

先来介绍一下线性基，学过线性代数的会比较清楚什么叫基，就相当于原本有一个大集合，然后你从中选取最少的一些元素，使得可以用这些小元素来表示出原本大集合中的任意元素，就跟代表一样。大部分时候线性基都是跟异或相关的，这里就介绍异或中的线性基。

异或中的线性基，用一个数组表示二进制的每一位是如何表示出来的，线性基里的元素都是原来集合中的元素异或得到的结果。线性基的求法可以去洛谷的模板题里面抄一下板子，下面放一下我的板子。

ll p[64];//表示用某个数能表示出二进制第几位
void insert(ll x){
	for(int i=63;~i;i--){
		if((x>>i)==0) continue;//一直找到最高位为止
		if(!p[i]) {p[i]=x;break;}
		else x=x^p[i];
	}
}

求法大概就是找到最高位，然后线性基中没有表示这一位的话，就让这个元素来代表这一位。如果已经有元素能表示这一位了，就让这两个元素异或，然后找异或和的最高位重复进行这个操作。然后常见的板子题就是，给定一个集合，求集合子集的最大异或和，做法就是求出线性基之后，从高位向低位贪心地异或。这里我之前一直有个疑惑，就是插入线性基的时候，有可能得到的最高位需要使用前面的数异或才能得到，而前面的数表示最高位时已经使用了一次，这样想要使用这两位，不是需要重复使用了同一个元素，可是子集里一个元素最多使用一次。

然后在机房的Singer Coder李队的指导下，我才发现，一个元素使用两次相当于异或两次等于没使用，所以多次使用也没关系。这个困惑解决了一下就明白了。

回到正题，牛客的这一道题。

2023牛客多校（九）G-Non-Puzzle:Game（线性基）

题意：黑板上初始有若干个数，目标数是k，Alice和Bob轮流在黑板上挑选两个数（可以是同一个数）并在黑板上写下这两个数的异或和，谁先写下k谁就赢了。

思路：首先很明显这个比赛是要么一回合就结束，要么就是平局，因为如果需要多轮的话，由于二者的目标相同，对方总能在你差一步的时候抢掉你的必胜态，所以肯定会造没用的数字0来拖延，最后就平局。关键在于判断一步怎么结束。

Alice赢很好判断，只要看一下是不是场上的数选两个就能得到k就直接赢了，我是用map存下数字异或k的结果，然后读入的时候判断读入的数是否已经标记，是的话就说明能直接得到k，Alice赢。Bob赢的情况很苛刻，相当于Alice无论选哪两个数，都能找到第三个数使得这三个数异或和为k。用公式表示即对任意的i，j，都存在p，使得ai^aj==ap^k，然后操作来了，在左边再异或两个k，就有(ai^k)^(aj^k)==ap^k，这个有点同构的感觉了，相当于证明集合ai^k是封闭的。

这时候就到线性基上场了，什么时候一个集合是封闭的，相当于线性基所能表示的所有向量的种类数（也就是2的线性基个数次幂，每个基向量都有选和不选两种可能）恰好等于集合里所有的向量数。因为如果不等，肯定就可以通过选择特定的线性基中的向量构造出这个不存在的向量，就违背了封闭性。

所以最终的做法就是，将黑板上初始元素去重后，每个元素异或k的新元素插入线性基中，统计线性基的个数，再2的幂次一下，判断是否和元素的个数相等，是的话则Bob赢，否则平局。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
using namespace std;

ll p[64];//表示用某个数能表示出二进制第几位
void insert(ll x){
	for(int i=63;~i;i--){
		if((x>>i)==0) continue;//一直找到最高位为止
		if(!p[i]) {p[i]=x;break;}
		else x=x^p[i];
	}
}
int read(){
    int x=0,f=0,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?-x:x;
}
map<int,int>mp;
map<int,int>mp2;
vector<int>v;//去重后的集合
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int t=read();
    while(t--){
        memset(p,0,sizeof(p));
        mp.clear();
        mp2.clear();
        v.clear();
        int n=read(),k=read();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int tem=read();
            if(mp[tem]) continue;
            else mp[tem]=1,v.push_back(tem);
        }
        int flag=0;
        for(auto u:v){//判断能否一步赢
            mp2[k^u]=1;
            if(mp2[u]){
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            cout<<"Alice"<<endl;
            continue;
        }
        for(auto u:v){
            insert(u^k);
        }
        int num=0;
        for(int i=31;~i;i--)
            if(p[i]) num++;
        if((1ll<<num)==v.size()){
            cout<<"Bob"<<endl;
        }
        else
            cout<<"Draw"<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}