前言
组队赛选的这场,遗憾爆0,被对面队打爆,赛后狠狠补题。这道题的题解,以及网上搜到的其他题解看了好久没看懂,在问了队里大腿多次后,总算磨出来了,这里讲一下我的理解。
题意
多次询问,每次给定 nnn 和 kkk, 如果一个数的质因数里包括前 kkk 个质数,则这个数是 讨厌 的,问 111 到 nnn 中有多少个数是不讨厌的。
数据范围 1≤n≤1018,1≤k≤161 \leq n \leq 10^{18}, 1 \leq k \leq 161≤n≤1018,1≤k≤16
思路
首先直接 2k2^k2k 的枚举质因数,然后容斥,这个是简单的。具体来说就是直接dfs 爆搜,枚举每个质因数选或者不选,选的话就乘上这个数,最终得到一个 xxx 以及 容斥系数 fff ,容斥系数根据选的质因数的奇偶性,决定是 111 或者 −1-1−1。然后将答案加上 1−n1 - n1−n 中是 xxx 的倍数的个数乘 fff。
通过这个容斥, 我们能得到的是 1 - n 中不是前k个质数倍数的个数,这句话,以及题解里面也是类似的描述,有一点歧义的地方。不是前k个质数的倍数,意思是质因数不包含前 k 个质数。而不是,不是前k个质数的乘积的倍数(因为题解里面多次强调了前8个质数的乘积9699690,就容易误解不是前8个质数倍数,指不是9699690倍数)。
然后因为 kkk 的数据范围是16,所以直接这样 2k2^k2k 容斥枚举是T的,因为多测次数很多。所以正解的思路是,先对前8个质数进行容斥枚举,预处理出一个数组 sum[i]sum[i]sum[i] 表示 111 到 iii 中,质因数不包含前8个质数的数字个数。然后只对第 888 到第 kkk 个质数进行枚举容斥。
就是这个什么叫只对后面几个数进行容斥,把我控了很久,因为普通的容斥,肯定是考虑前面和后面,总的选的数的个数,决定正负啥的。
然后我是这样去理解:
对一些位去容斥,最终目的是为了求出,1 - n 中不包含这些质因数的数字个数。然后我们对 9 到 k位去容斥,所以保证了这些数一定不包含9 到 k个质因数,然后我们只需要再保证这些数不包含前8个质因数,那这些数就是符合题意的。换言之,就是在容斥后几位的同时,保证能忽略掉前8位的影响。
然后具体的,由于容斥过程中,我们枚举了哪些质因数得到乘积 xxx 之后,我们要求的反而是 1−n1 - n1−n 中是 xxx 的倍数的个数。
因为是对后几个质因数容斥,所以我们要求的是 1−n1-n1−n 中是枚举到的后几个质因数的倍数的个数,因为忽略了前8位,所以我们还得保证求出来的这些数不能有前 8个质因数。也就是,通过容斥计算 1−n1-n1−n 不含后几位质因数的数量,在整个容斥过程中,还保证了全程枚举到的数不包含前 888 个质因数,所以最终算出来的就是前 kkk 个质因数都不包含的总数。
在后几位的容斥过程中,假如枚举到的乘积是 xxx ,问题转化为求 1−n1-n1−n 中是 xxx 的倍数,并且不包含前 888 个质因数的数字个数。
由于是 xxx 倍数,所以这些数 x,2x,3x…x, 2x, 3x \dotsx,2x,3x… 一定能表示成 kx(1≤k≤⌊nk⌋)kx (1 \leq k \leq \lfloor \frac{n}{k} \rfloor)kx(1≤k≤⌊kn⌋) ,因为 xxx 是后几个质因数倍数,所以肯定不含前 888 个质因子。所以我们相当于,求 1−nk1 - \frac{n}{k}1−kn 中,有多少个数不含前 888 个质因数,这个问题等价于求 n1=nk,k1=8n_1 = \frac{n}{k}, k_1 = 8n1=kn,k1=8 的子问题了。所以可以预处理 k=8k=8k=8 的所有答案。
然后由于 nnn 很大,没办法预处理 n=1−1018,k=8n = 1 - 10^{18}, k = 8n=1−1018,k=8 的所有答案,这时候还需要发现一个性质。 由于前8个质因数的乘积,或者说是最小公倍数是9699690, 假设有一个比较大的 nnn, 画在数轴上,把有前 888 个质因数的点 iii 标1,那么显然这些数的 lcmlcmlcm 就是一个循环节,所以 这个很大的 nnn 的答案等于拥有这些循环节的个数乘上一个循环节的答案,加上多出来那一截 nmod lcmn \mod lcmnmodlcm 对应的答案。(从这个循环节和数轴的角度,感觉比较好理解题解里面那个为什么要取余 lcm)
所以得到题解里面那个式子,这里的答案指的是 k=8k = 8k=8 时,1−n1-n1−n 中不含前 888 个质因数的数字个数。
然后就是代码了
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
#define db double
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
const int mod = 998244353;
int n, k;
int prime[17] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53};
int ans, P = 1, sum[maxn], vis[maxn];
int cal(int x) {
if (k <= 8)
return n / x; // 1 - n 中是前k个数的倍数的数量
else {
int y = n / x;
return sum[P] * (y / P) + sum[y % P];
}
}
void dfs(int num, int up, int now, int f) {
if (num == up + 1) {
ans += f * cal(now);
return;
}
dfs(num + 1, up, now * prime[num], f * -1);
dfs(num + 1, up, now, f);
}
void init() {
for (int i = 1; i <= 8; i++)
P *= prime[i];
for (int i = 1; i <= 8; i++) {
for (int j = prime[i]; j <= P; j += prime[i])
vis[j] = 1; // j中是前8个数的倍数
}
for (int i = 1; i <= P; i++) {
sum[i] = sum[i - 1];
if (vis[i] == 0)
sum[i]++; // 1 - i 中不是前8个数的倍数的个数
}
}
void solve() {
cin >> n >> k;
ans = 0;
if (k <= 8) {
dfs(1, k, 1, 1);
cout << ans << endl;
} else {
dfs(9, k, 1, 1);
cout << ans << endl;
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
init();
int t;
cin >> t;
while (t--) {
solve();
}
return 0;
}