拼多多 2020校招 多多的电子字典(字典树前缀搜索,DP)

探讨了如何通过构建字典树并运用动态规划解决字典序第K小单词的问题,该单词仅由字符'a'和'b'构成,且'a'和'b'的数量分别不超过给定的N和M。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

多多鸡打算造一本自己的电子字典,里面的所有单词都只由a和b组成。
每个单词的组成里a的数量不能超过N个且b的数量不能超过M个。
多多鸡的幸运数字是K,它打算把所有满足条件的单词里的字典序第K小的单词找出来,作为字典的封面。

解题思路:

首先,答案最终的输出为上面这棵字典树的先序输出第k次。当然这棵树的a.b数量不能超过题目给的a,b数量。我们在先序输出的时候可以判断它的左子树的节点数是否小于k,是的话,我们左子树就可以不访问了。为此我们需要计算一个量dp[n][m][sta];当sta == 0时,表示当前我们在'a'节点上,而且总共有n个a节点,m个b节点,注意包含自己。那么有如下转移公式:


    dp[n][m][sta]=1;
    if(!sta){
        dp[n][m][sta]+=((n>1)?dfs1(n-1,m,0):0) +((m>0)?dfs1(n-1,m,1):0);
    }else dp[n][m][sta]+=((n>0)?dfs1(n,m-1,0):0)+((m-1>0)?dfs1(n,m-1,1):0);

比较有疑惑的地方可能是为什么用了问号进行判断,因为我们的状态中要转移到下一个节点,必须保证那个节点还剩下。比如:我们不能转移到dp[n][m][sta];其中假设 n==0,sta == 0; sta==0 代表这是一个1节点,所以n>=1。这是一个无效的状态

完整代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long 
using namespace std;
vector<vector<vector<int>>> dp;
const int FLAG=1E18;
int  dfs1(int n,int m,int sta){
    if(n==0 && m==0)return dp[n][m][sta] = 0;
    if(dp[n][m][sta]!=FLAG)return dp[n][m][sta];
    if(sta == 2){ 
        dp[n][m][sta] = 0;
        dp[n][m][sta] = ((m>0)?dfs1(n,m,1):0);
        dp[n][m][sta]=  ((n>0)?dfs1(n,m,0):0);
        return dp[n][m][sta];
    }
    dp[n][m][sta]=1;
    if(!sta){
        dp[n][m][sta]+=((n>1)?dfs1(n-1,m,0):0) +((m>0)?dfs1(n-1,m,1):0);
    }else dp[n][m][sta]+=((n>0)?dfs1(n,m-1,0):0)+((m-1>0)?dfs1(n,m-1,1):0);
    return dp[n][m][sta];
}
string ans="";
void dfs2(int n,int m,int sta,int k,char t){
    ans+=t;
    k--;
    if(k==0)return;
    if(!sta){
        if(n>1 && dp[n-1][m][0]>=k)dfs2(n-1,m,sta,k,'a');
        else dfs2(n-1,m,!sta,k- ((n>1)?dp[n-1][m][sta]:0),'b');
    }else {
        if(n>=1 && dp[n][m-1][0]>=k)dfs2(n,m-1,!sta,k,'a');
        else dfs2(n,m-1,sta,k- ((n>=1)?dp[n][m-1][!sta]:0 ),'b');
    }
}
int32_t main(){
    int n,m,k;cin>>n>>m>>k;
    dp.assign(n+1,vector<vector<int>> (m+1,vector<int>(3,FLAG)));
    dfs1(n,m,2);
    cerr<<dp[n][m][1]<<" "<<dp[n][m][0]<<endl;
    if(dp[n][m][0]>=k)dfs2(n,m,0,k,'a');
    else dfs2(n,m,1,k-dp[n][m][0],'b');
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

 

### 关于洛谷 P1481 的字典树 (Trie) 算法 #### 字典树 (Trie) 数据结构简介 字典树是一种用于高效存储和检索字符串集合的数据结构。它通过将公共前缀共享的方式来节省空间并提高查询效率。对于本题而言,字典树的核心思想在于构建一棵多叉树来表示一组单词的字符序列[^5]。 #### 构建字典树的过程 在字典树中,每个节点代表一个字符,而从根到某个节点的路径则构成了一部分字符串。以下是构建字典树的主要过程: 1. **初始化**: 创建一个根节点 `root`。 2. **插入操作**: 将每一个单词逐字符插入字典树中。如果当前字符不存在,则创建新的子节点;否则沿已有路径继续向下遍历直到完成整个单词的插入。 ```python class TrieNode: def __init__(self): self.children = {} self.is_end_of_word = False def insert(root, word): node = root for char in word: if char not in node.children: node.children[char] = TrieNode() node = node.children[char] node.is_end_of_word = True ``` #### 查询操作 为了判断某字符串是否存在或者统计某些特定条件下的匹配数量,可以通过递归或迭代的方式访问字典树中的相应节点。例如,在此题目背景下可能需要计算满足一定约束条件下能够组成的合法串数。 #### 动态规划与状态转移方程 由于题目涉及到构造固定长度且包含指定数目关键词汇表内的任意组合形式的新字符串问题,因此除了单纯依靠字典树外还需要引入动态规划的思想来进行求解。设 dp[i][j] 表示已经处理到了第 i 位,并且此时正好包含了 j 个目标词汇的情况总数,则有如下关系式成立: \[dp[i][j]=\sum_{w \in S} dp[i-len(w)][max(0,j-cnt[w])]\] 其中 \(S\) 是所有候选单词集,\(len(w)\) 和 \(cnt[w]\) 分别对应着单个词语本身的尺寸以及其贡献给最终计数值的部分大小[^4]。 #### 完整解决方案框架 综合以上分析我们可以给出这样一个完整的解决流程概述: - 初始化必要的辅助数组如 trie 结构体实例化对象; - 根据输入数据依次调用上述定义好的函数完成各项预处理工作比如建立索引映射关系等准备工作; - 使用双重循环枚举位置变量i及其关联参数k从而填充DP表格直至得出最后答案为止。 ```python MOD = int(1e9 + 7) trie_root = TrieNode() for word in words_set: insert(trie_root, word) # Initialize DP table with dimensions [N+1][K+1], where N is max length of string to be formed, # K represents number of distinct required substrings. dp = [[0]*(k_max+1) for _ in range(n_max+1)] dp[0][0] = 1 for l in range(1, n_max+1): for c in alphabet: current_node = trie_root temp_dp = list(dp[l]) # Traverse through possible prefixes ending at position 'l' prefix_length = 0 while current_node and prefix_length <= l: new_k = min(k_max, k_found[current_node]) if new_k >=0 : temp_dp[new_k]=(temp_dp[new_k]+dp[l-prefix_length][new_k-count(current_node)])% MOD if c in current_node.children: current_node=current_node.children[c] prefix_length+=1 else: break dp[l]=temp_dp[:] result=sum([d[k_target]%MOD for d in dp[n]]) print(result) ```
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