codeforces 1312d count the arrays（组合数学）

最新推荐文章于 2022-09-05 15:42:43 发布

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组合数学

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本文探讨了一个具体的计数问题，通过组合数学的方法，解决了一个关于在给定区间内选择并放置数字的复杂问题。文章详细介绍了如何在遵循特定规则的情况下，计算不同数字放置方式的数量，并提供了一段C++代码实现。

题目大意：

已知区间长度为n，现在按照规定，我们从[1,m]中选择一部分数字放入这个区间。

规定：必须有一个数字是重复的。

存在下标i，使得下标小于i的数字递增，下标大于i的数字递减，问我们总共有多少种不同的方法来放这些数字。

n,m<=1e5.

解题思路：

首先，我们可以想到 $C_m^{n-1}$ 从中选出n-1个数字，然后我们可以让其中一部分的数字重复，但是最大值不能够重复，否则破坏了约束。接着我们可能想满足递增递减约束，但是却下不来手，但是我们换一个角度来考虑，假设中间最大值放好了，重复数字放好了，剩下的n-3个数字是不是既可以放左边又可以放右边呢。所以还有pow(2,n-3)种可能。

所以答案是：

$C_m^{n-1} * (n-2)*2^{n-3}$

还有两个细节，分别是n=2还有n-1>m时我们需要输出0.

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 

using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
const int MODN=998244353;
int quick_pow(int a,int b){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)ret*=a;
        ret%=MODN;
        a*=a;
        a%=MODN;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int32_t main(){
    int n,m;cin>>n>>m;
    if(n-1>m || n==2)cout<<0<<endl;
    else{
        vector<int> fact(MAXN,1);
        for(int i=1;i<MAXN;i++){
            fact[i]=fact[i-1]*i;
            fact[i]%=MODN;
        }
        // cerr<<fact[n-1]<<endl;
        int comb=fact[m]*quick_pow((fact[n-1]*fact[m-(n-1)])%MODN,MODN-2);
        // cerr<<comb<<endl;
        comb%=MODN;
        comb*=(n-2);
        comb%=MODN;
        comb*=quick_pow(2,n-3);
        comb%=MODN;
        cout<<comb<<endl;
    }
	return 0;
}