codeforces 614 div2 Aroma's Search（倍增曼哈顿距离）

最新推荐文章于 2024-09-30 05:54:51 发布

FrostMonarch

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分类专栏：倍增 codeforces

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题目大意：

$\\ x_n = a1*x_0 + b1\\ y_n= a2 * y_0 + b2\\$

已知 $x_0 \ y_0 \ a_1 \ a_2 \ b1 \ b2$ ，我们从点 $(x_s ,\ y_s)$ 出发，已知我们最远可以走的距离是t，问我们在最远走不超过t的情况下，最多能走几个点，其中距离的计算用的是曼哈顿距离即从点 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 距离为 $|a-c| + |b-d|$ . 关键数据范围: $2 \leq a_1 , a_2 \leq 100 \ ,t\leq 1e16$

解题思路：

首先我们意识到，每个点坐标都是指数级别的递升，因为很显然x,y是满足类似等比数列的表达式，其中公比大于等于2. 具体证明可以用放缩把b1和b2扔掉就能看出来了。所以我们总共处理的点不超过 log(t)个，大概是60个。

我们枚举L，R判断我们走的范围[L,R] 的cost是不是不超过t，若不超过就判断是否更新答案。

假设两点之间的曼哈顿距离为 $d(u,v)$ 由曼哈顿距离的计算公式，我们得到： $d(u,v)+d(v,w)=d(u,w)$ ，所以上述公式告诉我们应该在图中走连续的区间，而不是走完一段再回头的策略。上图中，我们列举了两种最优的走法，假设边缘的左右端点分别为 $(x_l,y_l),(x_r,y_r)$ 所以走完区间[L,R] 中的点的最小cost为

$cost=|x_l - x_r | + |y_l - y_r| + min(|x_s - x_l |+| y_s-y_l|, |x_s - x_r |+| y_s-y_r|)$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
int32_t  main(){
    int x0,y0,ax,ay,bx,by;cin>>x0>>y0>>ax>>ay>>bx>>by;
    int xs,ys,t;cin>>xs>>ys>>t;
    vector<pair<int,int>> mv;
    mv.push_back({x0,y0});
    int ans=0;
    while(mv.back().first+mv.back().second<(1ll<<54)-1ll){
        int nx=ax*mv.back().first +bx;
        int ny=ay*mv.back().second + by;    
        mv.push_back({nx,ny});
    }
    int sz=mv.size();
    for(int i=0;i<sz;i++)
        for(int j=i;j<sz;j++){
            int cost=abs(mv[i].first-mv[j].first)+abs(mv[j].second-mv[i].second);
            cost+=min(abs(xs-mv[i].first)+abs(ys-mv[i].second),abs(xs-mv[j].first)+abs(ys-mv[j].second));
            if(cost<=t){
                ans=max(ans,j-i+1);
            }
        }
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}