UVA 10765 Doves and Bombs（tarjan找桥）

最新推荐文章于 2023-10-06 22:13:57 发布

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本文介绍了一种改进的Tarjan算法，用于高效计算图中移除任意顶点后的连通分量数量。通过深入解析算法核心，即利用dfs_low和dfs_num变量更新的次数来判断割点及由此产生的连通分支数，文章提供了一个O(n)时间复杂度的解决方案。此方法避免了传统的O(n^2)复杂度，并通过实例说明了为何某些特殊情况需要进行调整。

题目大意：

给你一个图，我们需要找出去掉任意一个点后连通分量的个数。

解题思路：

tarjan算法可以快速地在O(n)时间内找到所有的割点，但是这个算法不能告诉我们这个是割点同时去掉这个割点后有多少个连通分量。

难道我们又要退化为O(n^2)找割点联通分量，这题这样做理论上来说应该会TLE，奈何数据太水。这里给一个正确的做法。

其实我们在判断tarjan割点的时候有两个很重要的变量,dfs_low和dfs_num.

当 $dfs\_low[nx]>=dfs\_num[u]$ 其中nx为下一个点，u为本个节点。我们认为u是一个割点。其中dfs_num为时间戳。dfs_low为本个节点的dfs生成树的节点的时间戳的最小值。我们发现假如这句话每更新一次我们认为这个产生的连通分量的数就增加1个！这是核心发现。所以，除非本个节点是dfs进入点，否则没更新一次，我们认为这个割点去掉后产生的连通分支数就++。假如这个点是dfs进入点且它是割点，那么我们认为它需要减一，大家可以试一下为什么它假如是割点需要减一。

#include <bits/stdc++.h>
#define UNVISITED -1
using namespace std;
vector<vector<int>> gra;
vector<int> articulation_vertex;
vector<int> dfs_low,dfs_num,dfs_parent;

int dfsRoot;
int dfsNumberCounter, rootChildren;
void articulationPointAndBridge(int u) {
	dfs_low[u] = dfs_num[u] = dfsNumberCounter++; // dfs_low[u] <= dfs_num[u]
 
	for (int j = 0; j < (int)gra[u].size(); j++) {
		int v = gra[u][j];
		if (dfs_num[v] == UNVISITED) { // a tree edge
			dfs_parent[v] = u;
			if (u == dfsRoot) rootChildren++; // special case if u is a root
			articulationPointAndBridge(v);
			if (dfs_low[v] >= dfs_num[u]){
				
				articulation_vertex[u] ++; // store this information first    这是最终想要的判定
			}
			
			dfs_low[u] = min(dfs_low[u], dfs_low[v]); // update dfs_low[u]
		}
		else if (v != dfs_parent[u]) // a back edge and not direct cycle
			dfs_low[u] = min(dfs_low[u], dfs_num[v]); // update dfs_low[u]
	}
}
bool cmp(pair<int,int> &fir,pair<int,int> &las){
	if(fir.first>las.first)return true;
	else if(fir.first<las.first)return false;
	else{
		if(fir.second<las.second)return true;
		else if(las.second<fir.second)return false;
		else assert(0);
	}
}
int main(){
	int n,m;
	while(cin>>n>>m &&(n || m)){
	gra=vector<vector<int>> (n);
	while(1){
		int x,y;cin>>x>>y;
		if(x==-1 && y==-1)break;
		gra[x].emplace_back(y);
		gra[y].emplace_back(x);
	}
			dfsNumberCounter = 0; dfs_num.assign(n, UNVISITED); dfs_low.assign(n, 0);
	dfs_parent.assign(n, 0); articulation_vertex.assign(n, 1);
	
	for (int i = 0; i < n; i++)
		if (dfs_num[i] == UNVISITED) {
			dfsRoot = i; rootChildren = 0; articulationPointAndBridge(i);
			if(rootChildren<=1)articulation_vertex[dfsRoot] = 1;
			else articulation_vertex[dfsRoot]-=1;
		} // special 
	vector<pair<int,int>> mv;
	for(int i=0;i<n;i++)mv.push_back(make_pair(articulation_vertex[i],i));
	sort(mv.begin(),mv.end(),cmp);
	for(int i=0;i<m;i++)cout<<mv[i].second<<" "<<mv[i].first<<endl;
	cout<<endl;
	}
	return 0;
}