BZOJ 1426 收集邮票 概率DP

题目描述 Description
有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入描述 Input Description
一行,一个数字N

输出描述 Output Description
要付出多少钱. 保留二位小数

样例输入 Sample Input
3

样例输出 Sample Output
21.25

数据范围及提示 Data Size & Hint
$1<=N<=10000$

Solution

用$f[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望次数
显然$f[n]=0$
现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*f[i]$
有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*f[i+1]$,这次取邮票的期望为1,所以总期望为:

$$f[i]=\frac{i}{n}*f[i]+\frac{n-i}{n}*f[i+1]+1$$
化简可得:$f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}$

用$g[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望价格
显然$g[n]=0$
现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)$,有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)$所以总期望为:

$$g[i]=\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)$$
化简可得:$g[i]=\frac{i}{n-i}*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}$

前面的推导貌似很自然的样子,但是为啥$g[i]$的推导式看着就那么奇怪呢?
那是因为式子的结构表示的是每次都将后面取到的邮票费用+1(总费用+f[i]),再加上自己的费用(+1)
这样就很好理解了

为啥不是$f[0]*(f[0]+1)/2*n$我也想了很久
因为推导过来每次的贡献是不相同的
比如说所有情况中有1次需要取2张,1次需要取3张,那么总贡献为$(3+6)/2=4.5$,而期望次数为2.5,显然是不对的…

代码比思考简单多了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n-1;~i;--i) {
        f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
        g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
    }
    printf("%.2lf\n",g[0]);
    return 0;
}