BZOJ 3450 Tyvj1952 Easy 概率DP

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本文介绍了一个关于计算游戏得分期望的问题，通过动态规划的方法求解在给定的操作序列中，包含确定操作和随机操作时的最大得分期望。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

BZOJ 3450 JoyOI1952 Easy

题目描述 Description
某一天WJMZBMR在打osu\~\~\~但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(
我们来简化一下这个游戏的规则
有 $n$ 次点击要做，成功了就是 $o$ ，失败了就是 $x$ ，分数是按comb计算的，连续 $a$ 个comb就有 $a^2$ 分，comb就是极大的连续 $o$ 。
比如 $ooxxxxooooxxx$ ，分数就是 $22+4*4=4+16=20$ 。
Sevenkplus闲的慌就看他打了一盘，有些地方跟运气无关要么是 $o$ 要么是 $x$ ，有些地方 $o$ 或者 $x$ 各有50%的可能性，用 $?$ 号来表示。
比如 $oo?xx$ 就是一个可能的输入。
那么WJMZBMR这场osu的期望得分是多少呢？
比如 $oo?xx$ 的话， $?$ 是 $o$ 的话就是 $oooxx => 9$ ，是 $x$ 的话就是 $ooxxx=>4$
期望自然就是 $(4+9)/2 =6.5$ 了

输入描述 Input Description
第一行一个整数n，表示点击的个数
接下来一个字符串，每个字符都是 $ox?$ 中的一个

输出描述 Output Description
一行一个浮点数表示答案

样例输入 Sample Input
4
????

样例输出 Sample Output
4.1250

数据范围及提示 Data Size & Hint
答案四舍五入到小数点后4位
如果害怕精度跪建议用long double或者extended

Solution

dalao肯定都是一眼秒QwQ

$f[i]$ 表示 $[1,i]$ 的期望得分
$g[i]$ 表示到 $i$ 为止comb的期望长度
假如当前字符为 $x$ , $f[i]=f[i-1],g[i]=0$
假如当前字符为 $o$ , $f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1,g[i]=g[i-1]+1$
等价于 $(x+1)^2-x^2=2*x+1$
假如当前字符为 $?$ , $f[i]=f[i-1]+g[i-1]+0.5,g[i]=(g[i-1]+1)/2$

$o,x$ 都较为容易理解
对于 $?$ 来说长度可能为 $g[i-1]$ 或者为 $0$ ,所以期望得分 $f[i]=f[i-1]+\frac{0+2*g[i-1]+1}{2}$ ,期望长度 $g[i]=(g[i-1]+1)/2$

题解没有题面长系列

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[300005],g[300005];
char str[300005];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",str+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        if(str[i]=='x') { f[i]=f[i-1];g[i]=0; }
        else if(str[i]=='o') { f[i]=f[i-1]+g[i-1]*2+1;g[i]=g[i-1]+1; }
        else { f[i]=f[i-1]+g[i-1]+0.5;g[i]=(g[i-1]+1)/2; }
    }
    printf("%.4lf\n",f[n]);
    return 0;
}