POJ 3744 Scout YYF I 矩阵快速幂加速dp

最新推荐文章于 2020-10-11 13:54:22 发布

zacky_su

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分类专栏： dynamic_programming 文章标签： matrix struct ini c

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本文探讨了一种使用概率算法解决迷宫路径问题的方法，包括动态规划、矩阵快速幂加速以及在大坐标范围内处理障碍物（mine）的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：在坐标范围在[1，100000000]内有10个mine，有一个人从1出发，有p的概率向前走一步，1-p的概率向前走两步，问该人能顺利通过不踩到一个mine的概率是多少。
题解：因为人只能向前走一步或者两步，所以最后人到达pos[n]+1位置的概率即为答案（如果可以到达，否则为0），想到dp[i]表示该人到达坐标为 i 的位置的概率，
即dp[i] = dp[i-1] * p + dp[i-2] * (1 - p);但是坐标范围很大，考虑矩阵快速幂加速，因为如果该地方有mine则概率为0，所以需要在每两个mine之间进行一次矩阵快速
幂即可。每次都是[ans , 0] * [p , 1.0 , 1-p , 0]矩阵相乘。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 12;
struct matrix
{
    double mat[2][2];
    void clear()
    {
        mat[0][1] = mat[1][0] = 0.0;
        mat[0][0] = mat[1][1] = 1.0;
        return;
    }
}tran,res;
int pos[maxn];
int n;
double p;

void read()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&pos[i]);
    }
    sort(pos,pos+n);
    return;
}

void init()
{
    tran.mat[0][0] = p;
    tran.mat[0][1] = 1.0;
    tran.mat[1][0] = 1.0 - p;
    tran.mat[1][1] = 0;
    return;
}

inline matrix mul(matrix a , matrix b)
{
    matrix c;
    c.mat[0][0] = c.mat[0][1] = c.mat[1][0] = c.mat[1][1] = 0.0;
    for(int k=0;k<2;k++)
    {
        for(int i=0;i<2;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
            }
        }
    }
    return c;
}

void powmi(int x)
{
    matrix tmp = tran;
    res.clear();
    while(x)
    {
        if(x & 1)
        {
            res = mul(res , tmp);
        }
        tmp = mul(tmp , tmp);
        x >>= 1;
    }
    return;
}

bool check()
{
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        if(pos[i+1] - pos[i] < 2) return false;
    }
    return true;
}

void solve()
{
    if(pos[0] == 1 || check() == false)
    {
        puts("0.0000000");
        return;
    }
    double ans = 1.0;
    int step = pos[0] - 2;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        powmi(step);
        ans *= res.mat[0][0];
        ans *= 1.0 - p;
        if(i < n-1) step = pos[i+1] - pos[i] - 2;
    }
    printf("%.7f\n",ans);
    return;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %lf",&n,&p))
    {
        read();
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}