SOJ Binary Numbers dp + 逼近思想

最新推荐文章于 2020-12-09 21:17:34 发布

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本文介绍了一个构造算法解决特定二进制数排列问题的方法。通过预处理动态规划表格，该算法能高效地找出由n个1组成的二进制数中第k大的数。适用于n小于等于10，k小于等于一千万的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定k（k<=10000000）和n（n<=10），问在由n个1组成的二进制数中第k大的数的二进制是什么。

题解：看到题就想到是构造，由于问的是第k大，那么逐步逼近。

预处理出dp[ i ][ j ][ 0 ]表示末 i 位中有 j 个1且当前位为0的方法数，dp[ i ][ j ][ 1 ]表示末 i 位中有 j 个1且当前位为1的方法数，

然后从高位到低位扫一遍即可。但是由于n = 1的时候可以直接得到答案，所以n = 2为极限情况，所以预处理到4500即可。

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#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <memory.h>
#define MIN(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;
const int maxn = 4500;
int dp[maxn][12][2],ans[maxn];
int n,m;

void init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][1][1] = dp[1][0][0] = 1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        int oo = MIN(10 , i);
        for(int j=0;j<=oo;j++)
        {
            int a,b;
            if(j)
            {
                a = dp[i-1][j-1][0],b = dp[i-1][j-1][1];
                if(a != -1 && b != -1 && a + b <= 10000000) dp[i][j][1] = a + b;
                else dp[i][j][1] = -1;
            }
            a = dp[i-1][j][0];
            b = dp[i-1][j][1];
            if(a != -1 && b != -1 && a + b <= 10000000) dp[i][j][0] = a + b;
            else dp[i][j][0] = -1;
        }
    }
    return;
}

void solve()
{
    scanf("%d %d",&m,&n);
    if(n == 1)
    {
        printf("1");
        for(int i=0;i<m-1;i++) printf("0");
        puts("");
        return;
    }
    if(m == 1)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("1");
        }
        puts("");
        return;
    }
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    for(int i=maxn-1;i>=1 && n;i--)
    {
        if((dp[i][n][0] != -1 && dp[i][n][0] < m) || i == n)
        {
            ans[maxn-i] = 1;
            m -= dp[i][n][0];
            n--;
        }
        else ans[maxn-i] = 0;
    }
    int i=1;
    for(;i<maxn && ans[i] == 0;i++);
    for(;i<maxn;i++)
    {
        printf("%d",ans[i]);
    }
    puts("");
    return;
}

int main()
{
    init();
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}