gcd和lcm算法

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本文介绍了计算gcd（最大公约数）和lcm（最小公倍数）的算法，包括经典的欧几里得算法和高效的二进制gcd算法。二进制gcd算法利用位运算避免了余数计算，提高了效率。此外，还阐述了lcm可以通过gcd与两数乘积的关系求得。参考《算法导论》。

gcd和lcm算法

文章目录

gcd和lcm算法

gcd（greatest common divisor）为最大公约数，lcm（least common multiple）为最小公倍数。

gcd算法

下面是欧几里得算法（Euclidean algorithm），也叫辗转相除法。

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }

    return gcd(b, a % b);
}

二进制gcd算法

与计算余数的执行速度相比，计算机执行减法运算、奇偶性判断和折半运算（通过位运算）的速度更快。下面的二进制gcd算法避免了欧几里得算法中对余数的计算过程：

#include <algorithm>

int gcd(int a, int b) {
    // make sure a >= b.
    if (a < b) {
        std::swap(a, b);
    }

    if (b == 0) {
        return a;
    }

    bool a_isodd = a & 1;
    bool b_isodd = b & 1;

    if (a_isodd && b_isodd) {
        return gcd((a - b) >> 1, b);
    } else if (a_isodd && !b_isodd) {
        return gcd(a, b >> 1);
    } else if (!a_isodd && b_isodd) {
        return gcd(a >> 1, b);
    }

    // both a and b are even numbers.
    return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
}

其中 $\ge b$ ，那么：

如果 $a$ 和 $b$ 都是奇数，则 $gcd(\frac {a - b} {2}, b)$
如果 $a$ 是奇数， $b$ 都是偶数，则 $\frac {b} {2})$
如果 $a$ 是偶数， $b$ 都是奇数，则 $gcd(\frac {a} {2}, b)$
如果 $a$ 和 $b$ 都是偶数，则 $\cdot gcd(\frac {a} {2}, \frac {b} {2})$

lcm算法

两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系：

$\frac {\lvert a \cdot b \rvert} {gcd(a, b)}$

int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

参考

《算法导论》