gcd和lcm算法
gcd(greatest common divisor)为最大公约数,lcm(least common multiple)为最小公倍数。
gcd算法
下面是欧几里得算法(Euclidean algorithm),也叫辗转相除法。
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) {
return a;
}
return gcd(b, a % b);
}
二进制gcd算法
与计算余数的执行速度相比,计算机执行减法运算、奇偶性判断和折半运算(通过位运算)的速度更快。下面的二进制gcd算法避免了欧几里得算法中对余数的计算过程:
#include <algorithm>
int gcd(int a, int b) {
// make sure a >= b.
if (a < b) {
std::swap(a, b);
}
if (b == 0) {
return a;
}
bool a_isodd = a & 1;
bool b_isodd = b & 1;
if (a_isodd && b_isodd) {
return gcd((a - b) >> 1, b);
} else if (a_isodd && !b_isodd) {
return gcd(a, b >> 1);
} else if (!a_isodd && b_isodd) {
return gcd(a >> 1, b);
}
// both a and b are even numbers.
return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
}
其中 a ≥ b a \ge b a≥b,那么:
- 如果 a a a和 b b b都是奇数,则 g c d ( a , b ) = g c d ( a − b 2 , b ) gcd(a, b) = gcd(\frac {a - b} {2}, b) gcd(a,b)=gcd(2a−b,b)
- 如果 a a a是奇数, b b b都是偶数,则 g c d ( a , b ) = g c d ( a , b 2 ) gcd(a, b) = gcd(a, \frac {b} {2}) gcd(a,b)=gcd(a,2b)
- 如果 a a a是偶数, b b b都是奇数,则 g c d ( a , b ) = g c d ( a 2 , b ) gcd(a, b) = gcd(\frac {a} {2}, b) gcd(a,b)=gcd(2a,b)
- 如果 a a a和 b b b都是偶数,则 g c d ( a , b ) = 2 ⋅ g c d ( a 2 , b 2 ) gcd(a, b) = 2 \cdot gcd(\frac {a} {2}, \frac {b} {2}) gcd(a,b)=2⋅gcd(2a,2b)
lcm算法
两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系:
l c m ( a , b ) = ∣ a ⋅ b ∣ g c d ( a , b ) lcm(a, b) = \frac {\lvert a \cdot b \rvert} {gcd(a, b)} lcm(a,b)=gcd(a,b)∣a⋅b∣
int lcm(int a, int b) {
return a * b / gcd(a, b);
}
参考
《算法导论》
本文介绍了计算gcd(最大公约数)和lcm(最小公倍数)的算法,包括经典的欧几里得算法和高效的二进制gcd算法。二进制gcd算法利用位运算避免了余数计算,提高了效率。此外,还阐述了lcm可以通过gcd与两数乘积的关系求得。参考《算法导论》。
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