【LeetCode】解题84：Largest Rectangle in Histogram

Problem 84: Largest Rectangle in Histogram [Hard]

Given n non-negative integers representing the histogram’s bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

Example:

Input: [2,1,5,6,2,3]
Output: 10

来源：LeetCode

解题思路

1. 分治法

在一组不同高度的柱子中求取最大面积，可以通过将其中的最矮柱子作为分割点进行分治，公式为：
m a x a r e a ( 0 , N − 1 ) = max ⁡ { m a x a r e a ( 0 , i n d e x ∗ − 1 ) , N ∗ h e i g h t s [ i n d e x ∗ ] , m a x a r e a ( i n d e x ∗ + 1 , N − 1 ) } max_{area}(0, N-1) = \max\{max_{area}(0, index^*-1), N * heights[index^*], max_{area}(index^*+1, N-1) \} maxarea​(0,N−1)=max{maxarea​(0,index∗−1),N∗heights[index∗],maxarea​(index∗+1,N−1)}
其中$inde{x}^{\ast }$为最矮柱子的下标，$ma{x}_{area}$是求取最大面积的函数。

时间复杂度为$O(n\log n)$。

2. 栈

栈的思想是用空间换取时间，遍历过程中，保证栈内的下标对应的柱子高度值是递增的，这样对于每个不同高度的柱子，都可以在pop()时算出该高度向左向右扩展形成的最大面积。
一个恒定的要素为：(stack[pop-1] ~ stack[pop]) 和 (stack[pop+1] ~ i)下标范围内的柱子高度都大于等于下标为stack[pop]的柱子高度，即：
$$\begin{gathered} \forall index\in (st[pop-1],st[pop])\cup (st[pop],i), \\ heights[index]\ge heights[st[pop]]. \end{gathered}$$
因此，对于下标为$st[pop]$的柱子，以其高度可扩展的最大面积为$heights[st[pop]]\ast (i-st[pop-1]-1)$。
其中$st[pop]$表示出栈的下标，$st[pop-1]$表示出栈元素的前一个下标，$i$表示当前遍历到的下标。

具体过程：

• 首先需要使用哨兵技巧，在栈中压入值-1，防止之后计算st[pop-1]时会越界。
• 然后遍历数组，不断压入高度递增的柱子下标i，直到heights[i] < heights[i-1]时停止^[1]，此时对栈中原有的下标依次进行pop()，计算面积：area = heights[st[pop]] * (i - st[pop-1] -1)，更新最大值：max_area = max{max_area, area}，直到heights[st[pop]] < heights[i]时停止^[2]，将当前下标i压入栈。
  注释[1]：这一步中的heights[i] < heights[i-1]时停止压栈，保证了(st[pop], i)下标范围内的柱子都大于等于st[pop]的高度。
  注释[2]：heights[st[pop]] < heights[i]时停止pop()，保证了在i压入栈后，(st[pop*-1], st[pop*])下标范围内的柱子都大于等于st[pop*]的高度。这里的st[pop*]就是刚压入栈的下标i。
• 最后当遍历至数组尾部时，将栈中的下标都以此pop()并计算area。

整个算法入栈和出栈一共遍历了两次数组，时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(n)$。

Solution (Java)

class Solution {
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int N = heights.length;
        if(N == 0) return 0;
        Stack<Integer> sk = new Stack<Integer>();
        sk.push(-1);
        sk.push(0);
        int max = -1;
        int area;
        for(int i = 1; i < N; i++){
            while(i < N && heights[i] >= heights[sk.peek()]){
                sk.push(i);
                i++;
            }
            if(i == N) break;
            while(sk.peek() > -1 && heights[i] <= heights[sk.peek()]){
                area = heights[sk.pop()] * (i - sk.peek() - 1);
                max = Math.max(max, area);
            }
            sk.push(i);
        }
        while(sk.peek() > -1){
            area = heights[sk.pop()] * (N - sk.peek() - 1);
            max = Math.max(max, area);
        }
        return max;
    }
}

修改过程

• for循环中间跳出while时需要检查一下是不是到了数组尾部，是的话要break出来对栈内元素依次pop()。