算法之美 - 如何清晰理解扩展欧几里得（exgcd）

今天搞明白了 $gcd$ 的思路，于是来发一篇博客，记录我的思路，也供大家参考。
前提：理解辗转相除法。

本文包含5个部分：

一. $exgcd$ 的作用

二. $exgcd$ 的求解思路

三. 关键步骤推导

四. 举例说明

五. C++代码实现

你可以选取感兴趣的部分进行月阅读。

注：
本文所用除法 " $/$ " 皆为整除，舍弃余数。
本文在将两组逻辑关联起来时会使用 $\Rightarrow$ 进行强调。

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一. $exgcd$ 的作用

$exgcd$ 是用来解决这样的问题的：
① $pa+qb=c$
其中 $a,b,c\in \mathbb{N}$ （$a+b̸=0$）且已知，$p,q\in \mathbb{Z}$ 且未知，求$p, q $ 。

$\Rightarrow$ 要解决这个问题，考虑下面这个式子：
② $pa+qb=gcd(a,b)$
我们需要从中得出一组解 $(p_0,q_0)$ ，然后可得 ① 的一组解 $(p_1,q_1)$ 满足：
③ $p_1=p_0\ast c/gcd(a,b)$
④ $q_1=q_0\ast c/gcd(a,b)$

$\Rightarrow$ 而 ① 的其他解满足：
⑤ $p=p_1+b/gcd(a,b)\ast t$
⑥ $q=q_1-a/gcd(a,b)\ast t$

其中 $t$ 是任意整数，不同的 $t$ 对应不同的解。
详细内容请查阅相关资料，本文将不在此处展开。

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二. $exgcd$ 的求解思路

那么问题来了，如何求解
② $pa+qb=gcd(a,b)$ 呢？

$\Rightarrow$ 我们知道当 $b=0$ 时：
⑦ $gcd(a,b)=gcd(a,0)=a$。
可知此时：
⑧ $pa+qb=gcd(a,b)$
$pa=a$
于是我们可以取一组解 $(p=1,q=0)$ 作为我们的突破口。

$\Rightarrow$ 我们还知道当 $b̸=0$ 时：
⑨ $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
考虑等式两边和 ② 的对应关系，发现两边对应的 $p,q$ 一般是不一样的。于是我们分别设 $p_0,q_0,p_1,q_1$ 来对应。

$\Rightarrow$ 然后我们能够想到，如果找到 $p_0,q_0$ 与 $p_1,q_1$ 之间的对应关系，就能够通过反复应用 ⑨ 减小 $a,b$ 的值，在 $b=0$ 时得到一组解 $(p_n,q_n)$ 之后，反推找到之前每个步骤的 $(p_{n-i},q_{n-i})$ 。这就是 $exgcd$ 的思路。

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三. 关键步骤推导

考虑以下式子：
⑩ $p_0\ast a+q_0\ast b=gcd(a,b)$
$p_1\ast b+q_1\ast (a\%b)=gcd(b,a\%b)$
通过 ⑨ 我们可以得到：
⑪ $p_0\ast a+q_0\ast b=p_1\ast b+q_1\ast (a\%b)$

$\Rightarrow$ 考虑等式右边，提取 $a,b$：
⑫ $p_1\ast b+q_1\ast (a\%b)$
$=p_1\ast b+q_1\ast (a-a/b\ast b)$
$=p1\ast b+q_1\ast a-(q_1\ast a/b\ast b)$
$=q_1\ast a+(p_1-q_1\ast a/b)\ast b$
于是我们可以将等式右边转化为一个与 $a,b$ 有关的式子。观察可发现此过程中 $a,b$ 保持不变，变化的是前后的 $p,q$。

$\Rightarrow$ 将 ⑪ ⑫ 结合，可得 $p_0,q_0$ 与 $p_1,q_1$ 之间关系为：
⑬ $p_0=q_1$
$q_0=p_1-q_1\ast a/b$

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四. 举例说明

好的，大致上我们的问题就解决了。来举个粒例子吧：

求 $3p+2q=gcd(3,2)$ 的一组解：

$3p_0+q_0=gcd(3,2)$
$2p_1+q_1=gcd(2,1)$
$p_2+0=gcd(1,0)$

$p_2=1,q_2=0$
$p_1=q_2=0,q_1=p_2-q_2\ast (2/1)=1$ （$a,b$ 应对应 $p_1,q_1$，即下标较小那项）
$p_0=q_1=1,q_0=p_1-q_1\ast (3/2)=-1$ （对应 $p_0,q_0$）

得解为 $(p=1,q=-1)$，代入式子成立。

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五. C++代码实现

pair<int, int> exgcd(int a, int b) {
	//经过修改，不返回gcd(a, b)，仅返回p, q值
    if(b == 0)
        return make_pair(1, 0);
    pair<int, int> sol = exgcd(b, a % b);
    int p = sol.first, q = sol.second;
    return make_pair(q, p - q * (a / b));
    //此处一定要注意是先除后乘 不要搞反顺序
}