gcd与exgcd(裴蜀定理)

gcd（欧几里得算法）与最大公因数

1. 公式：$gcd(a,b)=gcd(b,a$%b$)$

2. 证明：
   设$a>b$，证明$a,b$的公因数和$b,a-b$的公因数是同样的一堆数
   首先，有结论:若 $x|a,x|b,那么x|(a-b)$.
   设$a$和$b$的公因子集合为$S1$，$b$ 和$(a–b)$的公因子集合为$S2$。那么，
   对于任意的 $x\in S1$，有$x|a$，且$x|b$，所以 $x|(a–b)$，则 $x$ $\in$ S2$，于是$S1$ $\subset$ $S2$；
   对于任意的 $x\in S2$，有 $x|b$，且 $x|(a–b)$，所以 $x|a$，则 $x\in S1$，于是 $S2$ $\subset$ $S1$。
   所以 $S1=S2$，$gcd(a,b)=max(S1)=max(S2)=gcd(b,a–b)$。
   证明了 $gcd(a,b)=gcd(b,a–b)$，也就可以进一步证明 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

3. 代码：

#define ll long long
ll gcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)return a;
	else rteutn gcd(b,a%b);
}

4. 复杂度：$O(lo{g}_{2}max(a,b))$

exgcd(扩展欧几里得算法)

1. 前置知识：裴蜀定理$qwq$
   （1） 对任何$a,b\in Z$和它们的最大公约数$d$，关于未知数$x$和$y$的线性不定方程（称为裴蜀等式）：$ax+by=c$有整数解$(x,y)$当且仅当$d\mid c$，可知有无穷多解。特别地，一定存在整数$x$,$y$，使$ax+by=d$成立。
   ( 2 )推论：
   $a$, b b