洛谷1450 [HAOI2008]硬币购物

最新推荐文章于 2025-02-26 15:49:50 发布

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分类专栏： # 容斥原理

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本文介绍了一种利用容斥原理解决洛谷1450问题的方法，通过递归深度优先搜索来排除非法状态，实现了计算购买特定金额商品的方案数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=1450

题解

　　第一次做这种容斥题，主要是学一下套路。

　　令f[i]表示每种硬币都无限的情况下，买i块钱的东西有多少种方案数。那么对于每一次查询，你就要把不合法的减去，这里直接容斥就好了。容斥使用的是dfs。注意这里只需要把f[sum-(d[x]+1)*c[x]]减掉就行了，因为一旦选了(d[x]+1)个，再选任何一个x硬币就是不合法的了，已经包含了所有的方案数。

　　再一点就是f[i]的计算，这里的f[i]是方案数，本质上是组合数，如果直接递推的话肯定不行，要枚举加入每种硬币，然后来做。如果直接for一层的话，可能出现(1,2)(2,1)这种重复的情况。

代码

//容斥原理
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define maxn 100100
using namespace std;
ll f[maxn], c[5], d[5], ans;
ll read(ll x=0)
{
	char c=getchar();
	while(c<48 or c>57)c=getchar();
	while(c>=48 and c<=57)x=x*10+c-48,c=getchar();
	return x;
}
void init()
{
	ll i, j;
	for(i=1;i<=4;i++)c[i]=read();
	f[0]=1;
	for(i=1;i<=4;i++)
		for(j=c[i];j<=100000;j++)
			f[j]+=f[j-c[i]];
}
inline void dfs(ll pos, ll k, ll sum)
{
	if(sum<0)return;
	if(pos>4)
	{
		if(k&1)ans-=f[sum];
		else ans+=f[sum];
		return;
	}
	dfs(pos+1,k,sum);
	dfs(pos+1,k+1,sum-c[pos]*(d[pos]+1));
}
int main()
{
	ll T, i, s;
	init();
	for(T=read();T;T--)
	{
		for(i=1;i<=4;i++)d[i]=read();s=read();
		ans=0;
		dfs(1,0,s);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}