单调队列优化的多重背包

#单调队列优化的多重背包
##Decription
　　给定N种物品和一个容量为M的背包，每种物品都有三个属性：价值$w_i$、体积$v_i$、个数$c_i$
　　目标：选择若干个物品装入背包，使其容量和不超过M，并最大化价值和
##Solution 1
　　设$f_{i,j}$表示考虑前$i$种物品，装入容量为$j$的背包获得的最大价值
　　状态转移方程如下：
　　fi,j=max{fi−1,j−kvi+kwi}　(k∈[1,jvi])f_{i,j}=max\{f_{i-1,j-kv_i}+kw_i\}　(k\in[1,\frac{j}{v_i}])fi,j​=max{fi−1,j−kvi​​+kwi​}　(k∈[1,vi​j​])
　　直接枚举$i,j,k$的话，时间复杂度应该是$O(nm\overline{c_i})$
##Solution2##
　　观察方程
　　$$f_{i,j}=f_{i-1,j-k{v}_i}+k{w}_i(k\in [0,\frac{j}{v_i}])$$
　　为了方便看，我们令$f_j$表示原来的$f_{i,j}$，$g_j$表示$f_{i-1,j}$，$v$表示$v_i$，$w$表示$w_i$，$c$表示$c_i$
　　于是得到
　　fj=max{gj−kv+kw}　(k∈[0,jvi])f_j=max\{g_{j-kv}+kw\}　(k\in[0,\frac{j}{v_i}])fj​=max{gj−kv​+kw}　(k∈[0,vi​j​])
　　接下来是最关键的一步
　　似乎没什么头绪，但我们发现一个性质，就是$g_i$只会被用来更新$f_{i+kv}$。举个栗子，比如当$v=3$时有$1\to 4\to 7\to ...$，其中箭头表示能够更新。我们这样将1到m分组后，假设分出来是是这样的{1,4,7,10,…}{2,5,8,11,…}{3,6,9,12…}。如果我们按照模$v$的余数分组的话，分出$v$组来，而各组都是一个等差数列，且公差都等于v，$每组之间的转移互相不影响$。
　　于是我们就把每一组“抖”出来，单独研究它 的转移。比如我们只研究{2,5,8,11,…}这一组，其通项公式为$j_a=av+2$，其中$a\in Z$，那么
　　fav+2=max{gav+2−kv+kw}f_{av+2}=max\{g_{av+2-kv}+kw\}fav+2​=max{gav+2−kv​+kw}
　　这样枚举a的话，实际上决策区间就是连续的了，那么问题就变成动态维护最大值，显然用单调队列就好了（单调队列不再啰嗦，感兴趣者可以去看我的sliding window那篇文章）。
　　这里有个小问题，当我们的a增加1的时候，原来的$kw$应该对应变成(k+1)w，这个直接设一个d，每次a增加时就给d加上w，表示整个队列里的元素都加了w，调用队列中元素时q[l]+d就表示真实值，入队的时候就直接减去一个d就行了
　　综上，时间复杂度优化到$O(nm)$
##Problems##
　　hdu 2191，不加优化就能过
　　CodeVS 5429，必须用单调队列优化(题目卡log)
##Code
这是hdu2191

//多重背包 单调队列优化 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 1100
#define maxm 1100
using namespace std;
int N, M, p[maxn], h[maxn], c[maxn], qw[maxm], qn[maxm], f[maxn][maxm];
void input()
{
	int i, j;
	scanf("%d%d",&M,&N);
	for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d%d",p+i,h+i,c+i);
}
void dp(int *f, int *g, int prize, int height, int c)
{
	int l=1, r=1, d=0, k, a, b, mini;
	for(b=0;b<prize;b++)
	{
		l=1,r=1,qw[r]=g[b],qn[r++]=b;
		for(a=0,d=0;a+b<=M;a+=prize,d+=height)
		{
			while(qw[r-1]+d<=g[a+b] and l<r)r--;
			qw[r]=g[a+b]-d,qn[r++]=a+b;
			mini=max(0,a+b-prize*c);
			while(qn[l]<mini)l++;
			f[a+b]=qw[l]+d;
		}
	}
}
int main()
{
	int C, i, j;
	scanf("%d",&C);
	while(C--)
	{
		input();
		for(i=1;i<=N;i++)dp(f[i],f[i-1],p[i],h[i],c[i]);
		printf("%d\n",f[N][M]);
	}
	return 0;
}

这是CodeVS 5429

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 7010
#define maxm 7010
using namespace std;
int N, M, p[maxn], h[maxn], c[maxn], qw[maxm], qn[maxm], f[2][maxm];
void input()
{
	int i, j;
	scanf("%d%d",&N,&M);
	for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d%d",p+i,h+i,c+i);
}
void dp(int *f, int *g, int prize, int height, int c)
{
	int l=1, r=1, d=0, k, a, b, mini;
	for(b=0;b<prize;b++)
	{
		l=1,r=1,qw[r]=g[b],qn[r++]=b;
		for(a=0,d=0;a+b<=M;a+=prize,d+=height)
		{
			while(qw[r-1]+d<=g[a+b] and l<r)r--;
			qw[r]=g[a+b]-d,qn[r++]=a+b;
			mini=max(0,a+b-prize*c);
			while(qn[l]<mini)l++;
			f[a+b]=qw[l]+d;
		}
	}
}
int main()
{
	int i, j;
	input();
	for(i=1;i<=N;i++)dp(f[i&1],f[~i&1],p[i],h[i],c[i]);
	printf("%d\n",f[N&1][M]);
	return 0;
}