《离散时间信号处理学习笔记》—线性时不变系统的变换分析（二）

注：本博客是基于奥本海姆《离散时间信号处理》第三版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

 

一、最小相位系统

一）、最小相位和全通系统

1、任何有理系统函数都能表示成

式5.1

式中是最小相位系统，是全通系统。

1）、包含H(z)中位于单位圆内的零、极点，再加上H(z)中单位圆外的零点成共轭倒数的那些零点。

2）由全部H(z)中位于单位圆外的零点和与中反射过来的共轭倒数零点相抵消的极点组成。

 

2、利用式5.1可以从一个最小相位系统把其一个或多个位于单位圆内的零点反射到单位圆外与它们成共轭倒数的位置上面形成一个非最小相位系统；或者相反，从一个非最小相位系统把全部位于单位圆外的零点反射到单位圆内与其成共轭倒数的位置上而形成一个最小相位系统。在任意情况下，这个最小相位与非最小相位系统都具有相同的频率响应幅度。

 

二）、非最小相位系统的频率响应补偿

1、在很多信号处理范畴内，一个信号已经被某个不合要求的频率响应德LTI系统所失真，然后可能关心德是要用到一个补偿系统来处理这个失真德信号，如图1所示。

图1

1）、如果实现完全的补偿，那么sc[n]=s[n]，也就是说，Hc[z]就是Hd[z]的逆系统。

2）、如果假定失真系统是稳定和因果德，并且要求补偿系统也是稳定和因果德，那么只有当Hd[z]是最小相位系统而有一个稳定和因果的逆系统时，这种完全的补偿才有可能。

 

2、Hd(z)和Hdmin(z)有相同的频率响应幅度，并且通过一个全通系统Hap（z）联系在一起，即

式5.2

选取补偿滤波器为

式5.3

联系sc[n]和s[n]的总系统函数是

式5.4

即G(z)相当于一个全通系统。结果，就完全不唱了频率响应幅度，而相位响应则被调整为。

 

 

三）、最小相位系统的性质

1、最小相位滞后性质：一个全通系统的连续相位曲线在0≤w≤Π总是负的。因此，将Hmin(z)的零点从单位圆内反射到单位圆外其共轭倒数的位置上总是使(连续)相位减少，或者说使相位的负值增加，这就称之为相位滞后函数。这样具有幅度响应为|Hmin(ejw)|，全部零点（当然还是极点）都位于单位圆内的因果稳定的系统对于具有相同幅度响应的所有其他系统而言就具有最小滞后函数（0≤w≤Π）。

 

2、最小群延迟性质：全通系统具有这样一个一般性质：它们对全部w总是有正德群延迟。因此，如果还是考虑全部都有给定幅度响应|Hmin(ejw)|德系统，那么全部零、极点都在单位圆内德系统就有最小德群延迟。

 

3、最小能量延迟性质：

式5.5

根据式（5.5），最小相位系统德部分能量集中在n=0周围，也就是说，最小相位（滞后）系统也称为最小能量延迟系统，简称最小延迟系统。

 

 

二、广义线性相位德线性系统

一）、线性相位系统

1、考虑一个LTI系统，其响应在一个周期内是

式5.6

式中α是实数，但不一定是整数。这样的系统是一个“理想延迟”系统，这里的α是由该系统引入德延迟。

1）、可看出该系统有恒定的幅度相应、线性相位和恒定群延迟，即