《信号与系统学习笔记》—信号与系统的时域和频域特性（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、一阶与二阶连续时间系统

一）、一阶连续时间系统

1、对于一个一阶系统，其微分方程往往表示成下列形式：

区中t是一个系数。相应的一阶系统的频率响应是

其单位冲激响应是

系统的阶跃响应为

这些都分别回执图6.19)a)和图6.19(b)中。参数t称为系统的时间常数，它控制着一阶系统响应的快慢。

2、图6.20画出了式(6.22)频率响应的伯德图。这幅图体现了使用对数频率坐标的一个优点，这就是没有多大困难难就可以德奥一阶系统一个很有的近似伯德图。

为此，频率响应的对数特性，由式（6.22）可得

从该式可见，对于wt<<1，对数近似为零；而对于wt>>1,对数模就近似为的线性函数。也就是说

和

换句话说，一阶系统其对数模特性在第频和高频与的渐进线都是直线。低频渐进线[由式(6.26)给出]就是一条0dB线；而高频渐进线[由式(6.27)给出]相应于在|H(jw)|上每隔十倍频程有20dB的衰减，有事这就成为“没十倍频程20dB”渐进线。

注意由式(6.26)和式(6.27)所表示的这两条渐进线在这一点，也即w=1/t这一点是相等的。由图来看，这就意味着两条渐进线应在w=1/t相交，这样就提供了对数模特性图的一种直线近似。这就是，对于w≤1/t，而对于w≥1/t，则由式(6.27)给出。

由于在w=1/t这一点，近似特性的斜率发生变化，因此这一点往往就称为转折频率。同时，由式(6.25)可知，在w=1/t这一点，式中对数内的两项相等，所以在这一点的实际值为

由于这个原因，w≥1/t这一点有时称为3dB点。

3、对也能求得一个有用的直线近似为

可以注意到这条近似特性作为的函数，在

范围内是线性下降的(从0到-π/2)，也就是说在转折频率上下各有一个十倍频程的范围内。同时，在w≥1/t时，的准确近似值就是-π/2。再者，在转折频率出w=1/t处，的近似值与真正值是一致的，其值为

4、从上面的一阶系统可以再次看到时间和频率之间的相反关系。当t减小时，就就加速了系统的时间响应，即h(t)变得更向原点压缩阶跃响应的上升时间就减小了；榆次同时，转折率升高，即的频率范围更宽，H(jw)就变宽了。

二）、二阶连续时间系统

1、二阶系统的线性常系数微分方程的一般形式为

其二阶系统的频率响应是

将H(jw)的分母因式化后，得

其中

若，进行部分分式展开得到

其中

由式(6.35)，系统的单位冲激响应为

如果这是有

此时的单位冲激响应为

参数称为阻尼系数，称为无阻尼自然频率。首先由式(6.35)看出，当0<<1是，c1和c2都是复数，因此将式(6.37)的单位冲激响应写成

因此对于0<<1，二阶系统的单位冲激响应就是一个耍贱的振荡。这时系统称为欠阻尼的。如果>1，则c1和c2都是实数，并且是负的，单位冲激响应就是两个衰减的指数之差，这时系统称为过阻尼的。当=时，c1=c2，这时系统称为临街阻尼的。

4、对于≠1，二阶系统的阶跃响应可由式(6.37)算出，其表达式是

对于=1，利用式(6.39)可得

5、由式(6.33)可得

从这个表达式可以到处搞、第频率两条线性渐近线为

因此，对数模特性的低频渐近线是0dB线，而高频渐近线则有一个每隔十倍频程-40dB的斜率；也就是说，当w没增加10倍是，|H(jw)|就下降40dB。另外，两条渐近线在w=wn处相交。因此得出，对w≤wn，可以利用式(6.44)给出的近似，对对数模特性切得一个直线渐近线近似。为此，wn称为二阶系统的转折频率。

另外，也能求得的一个直线近似，的准确表达式可由式(6.33)得到

对的近似式是

三）、有理型频率响应的伯德图

1、对于具有如下频率响应形式

和

的伯德图就能很快得到，因为

且

同时，对于系统函数为恒定增益的系统

因为，若K>0则；若K<0则，所以

因为一个有理型频率夏官营可以按因式分解为一个恒定1增益和一阶、二阶项的乘积，所以它的伯德图就能由乘积中每一次昂的伯德图相加得到。

二、一阶与二阶离散时间系统

1、考虑由如下差分方程描述的一阶因果线性时不变系统

其中|a|<1.该系统的频率响应为

其单位脉冲为

同时，该系统的阶跃响应为

这么参数a的模|a|很类似于连续时间一阶系统中的时间常数t的作用，即|a|决定了一阶系统响应的速率。值得注意的事，与一阶连续时间系统不同，由式(6.51)索取定的一阶系统可以呈现出振荡的特性。这发生在a<0时，在这种情况下，阶跃响应即呈现出超量，又呈现出振荡特性。

2、由式(6.51)描述的一阶系统频率响应的模和相位分别是

和

当a>0时，系统呈现出高频衰减的特性，即|H(ejw)|在w接近-+π时的值比w接近0时的值小；二当a<0时，系统对高频分量较大，而对低频分量衰减。同时，也注意到，对于较小的|a|值，|H(ejw)|的最大值1/(1+a)和最小值1/(1-a)在数值上就逐渐靠近，因此|H(ejw)|的变化就相对平坦。另一方面，在|a|接近于1时，这两个值就相差很大，|H(ejw)|呈现出更为陡峭的峰值，这样就在一个较宽的频带内提供了具有良好选择性的滤波和放大。

二）、二阶离散时间系统

1、考虑一个二阶因果线性是不变系统，其差分方程为

其中0<r<1，该系统的频率响应是

上式的分母可以因式分解，从而得

1）、当不等于0或π时，这两个因式是不同的，利用部分分式展开可得

其中

这时系统的单位脉冲响应是

2）、当等于0或π时，式(6.58)分母的和两个因式相同。当=0时，

且

当=π时，

且

可看到，h[n]的衰减速率收r的控制，即r越接近1，h[n]衰减得越慢。类似的，值决定振荡频率。不同的r和值得影响也可以从式(6.57)的阶跃响应中看到。

当不等于0或π时，

同时，对=0，可以求得

对=π，可以求得

2、由式(6.57)给出的二阶系统就是相应连续时间系统前阻尼下的二阶系统，而=0的特殊情况就是临街阻尼情况。这就是说，对于任何不等于零或值，单位脉冲响应都有一个衰减振荡的特性，阶跃响应则呈现超量和起伏。

3、由式(6.59)定义的二阶系统具有复数系数因子(除非等于0或π)。但是二阶系统也可能具有实系数因子。下考虑如下H(ejw)

其中d1和d2都是实数，且|d1|和|d2|都小于1.式(6.70)就是下列差分方程的频率响应

在该情况下

其中

由此

这时两个衰减的实指数序列之和。同时

4、这一届仅仅福安心那些稳定的因果一阶和二阶系统，叶即频率响应是由定义的一阶和二阶系统。特别是，由式(6.51)定的因果系统，在|a|≥1时是不稳定的；同时，由式(6.56)定义的因果系统，在r≥1时也是不稳定的，而由式(6.71)定义的因果系统，在|d1|和|d2|中有一个超过1时也是不稳定的。