【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第五章：离散时间傅里叶变换

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【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第一章：信号与系统
【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第二章：线性时不变系统
【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第三章：周期信号的傅里叶级数表示
【学习笔记】奥本海姆第二版《信号与系统》第四章：连续时间傅里叶变换

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一、非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换

1.1 离散时间傅里叶变换的导出

   和连续时间非周期信号一样，考虑某一序列$x[n]$，它具有有限持续期；也就是说对于某个整数$N_1$和$N_2$，在$-N_1\le n\le N_2$范围以外，$x[n]=0$。如下图所示：

  由这个非周期信号可以构成一个周期序列$\tilde{x}[n]$，使得对$\tilde{x}[n]$来说$x[n]$是它的一个周期，如下图所示：

  随着所选周期$N$的增大；$\tilde{x}[n]$就在一个更长的时间间隔内与$x[n]$一样，而当$N\to \infty$时，对任意有限$n$值来说有
$\tilde{x}[n]=x[n]$。根据第三章的离散傅里叶级数公式：
$$\tilde{x}[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk(\frac{2\pi }{N})n}$$
$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}\tilde{x}[n]e^{-jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}\tilde{x}[n]e^{-jk(\frac{2\pi }{N})n}$$

  因为在包括$-N_1\le n\le N_2$区间的一个周期上$\tilde{x}[n]=x[n]$，因此在上式中，求和区间就选在这个周期上可用$x[n]$来代替$\tilde{x}[n]$，而得到:
$$a_k=\frac{1}{N}n=-N_{}$$