《信号与系统学习笔记》—线性反馈系统（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、奈奎斯特稳定判据

1、前面介绍的根轨迹的确定需要正向通路和反馈通路系统函数的解析表达式，并且仅当这些变换是有理函数时才适用。奈奎斯特判据这种方法与根轨迹相比有两个基本的区别；

1）、与根轨迹法不同，奈奎斯判据不给出关于闭环极点位置作为K的函数的详细信息，而只是确定对任何具体的K值来说该系统是否稳定。

2）、奈奎斯判据可以适用于非有理系统函数的情况，而且在正向通路和反馈通路系统函数非解析表述的情况下也是适用的。

一）、围线性质

1、现在考虑一个一般的有理函数W(p)，这里p是一个复变量。假设要对p平面内沿一条顺时针方向的封闭围线上的p值画出W(p)。图11.17所示W(p)在p平面内由两个零点，而无极点。图11.17(a)给出p平面内的一条薄荷路径C，图11.17(b)则给出了当p沿C变换一周时W(p)的值形成的一条闭合围线。

对于更为一般的事，对任意一个有理函数(p)，当p以顺时针方向沿某一闭合围线一周时，W(p)位于该为围线外的任何极点和零点对W(p)相位的净变化没有贡献，位于围线内的每一个零点对W(p)相位的净变化提供的贡献是-2π，而位于围线内的每一个极点贡献则是+2π。因为相位上-2π的净变化，就相当于W(p)以顺时针方向绕原点一周，因此可以给出如下基本围线性质。

2、围线性质

当在p平面内以顺时针方向沿一闭合路径C绕一周时，对于沿这条闭合路径的p值所对应的W(p)以顺时针方向环绕原点的净次数，等于p平面上闭合路径C内W(p)的零点数减去它的极点数。

二）、连续时间线性时不变反馈系统的奈奎斯特判据

1、对于连续时间反馈系统的稳定性。这个系统的稳定性要求[1+]KG(s)H(s)]或等效为函数

在s平面的右半平面内没有零点。由式(11.82)可知：R(s)的极点就是G(s)H(s)的极点，而R(s)的零点是闭环极点。另外，因为G(s)H(jw)=R(jw)-1/K，因此G(s)H(s)图绕点-1/K的次数就是R(jw)绕原点的次数。当从-∞变到+∞时，G(hw)H(jw)

的图就称为奈奎斯特图。那么，根据围线性质可得

2、连续时间奈奎斯特判据

一个闭环系统若要是稳定的，G(jw)H(jw)的奈奎斯特图顺时针方向环绕-1/K点的净次数必须等于G(s)H(s)的右半平面内极点数的负值。或者说逆时针方向环绕-1/K点的净次数必须等于G(s)H(s)在右半平面内的极点数。

3、奈奎斯特稳定判据对于范围及广泛的一大类反馈系统都是适用的。另外，对这个判据还可以·进行一些细致的改进和推广，使之对许多其他反馈系统也能用。其也能推广到G(s)和H(s)不是非有理函数的情况。

三）、离散时间线性时不变反馈系统的奈奎斯特判据

1、对于离散时间情况，闭环反馈系统的稳定性要求

在单位圆外没有零点。在研究一个离散时间系统的稳定性时，关心的事R(z)在单位圆外的零点，因此为了应用围线性质，首先应对R(z)进行简单变换。现在考虑如下有理函数；

如果z0时R(z)的一个零点(或极点)，那么1/z0叶必定是的一个零点(或极点)。如果|z0|>1，那么1/|z0|<1，这样，R(z)在单位圆外的任何零点或极点数都与在单位圆内的零点或极点相对应。在单位圆上，而，因此有

由上式可知，z沿单位圆顺时针移动一周时对的求值与逆时针绕单位圆一周对R(z)的求值是完全一样的。总之

2、离散时间奈奎斯特稳定判据

闭环系统要是稳定的，则当w从0变化到2π时，奈奎斯特图沿顺时针方向包围-1/K点的净次数等于G(z)H(z)在单位圆外极点数的负值，或者等效表示为沿逆时针方向包围-1/K点的净次数必须等于G(z)H(z)在单位圆外的极点数。

二、增益和相位裕度

1、对于一个反馈系统，不仅仅要知道该系统是否是稳定的，而且要确定在系统中有多少增益量可以变换，由多少相移可以再加上在这个系统上，直到系统编程不稳定的为止。

2、反馈系统的增益裕度定义为时使闭环系统编程不稳定的最小附加K值；类似地，相位裕度就是K=1时系统编程不稳定的相移附加值。按照惯例，相位裕度表示成一个正的量，即等于使系统编程不稳定的附加负相移的大小。

3、在确定增益和相位裕度时，不必总是明确指出在还说呢么频率下几点将跨过hw轴。因此，另一种办法就是根据一副对数幅-相图之季节确定增益和相位裕度。

4、增益和相位裕度的定义对离散时间反馈系统和连续时间系统是一样的。具体而言，如果有一个稳定的离散时间反馈系统，增益裕度就是使闭环系统编程不稳定时所需的最小附加增益；同理，相位裕度就是该反馈系统编程不稳定时所需的最小附加负相移。