期望、方差、协方差与相关系数

期望、方差、协方差与相关系数

期望

定义： 设离散型变量 $X$ 的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,⋯ . P\{ X = {x_k}\} = {p_k},\begin{array}{c} {}&{k = 1,2, \cdots .} \end{array} P{X=xk​}=pk​,​k=1,2,⋯.​
随机变量 $X$ 的数学期望为
$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$$
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，$X$ 的数学期望为
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$$
一般的期望也称均值，但是二者有不同。

期望和均值的不同？

期望 是一个概率论概念，均值是一个统计学概念。

均值是实验后根据实际结果统计得到的样本的平均值，期望是实验前根据概率分布来预测样本的均值。所以可以说期望是均值随样本趋于无穷的极限。

方差

方差用来度量随机变量 $X$ 与均值 $E(X)$ 的偏离程度。

定义： 设 $X$ 是一个随机变量，若 E{[X−E(X)]2}E\{ {[X - E(X)]^2}\}E{[X−E(X)]2} 存在， 则称 E{[X−E(X)]2}E\{ {[X - E(X)]^2}\}E{[X−E(X)]2} 为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 Var(X)，即
D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2} {\rm{D(X) = Var(X) = }}E\{ {[X - E(X)]^2}\} D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2}
引入 $\sqrt{\mathrm{D}(\mathrm{X})}$ ，记为 $\sigma (X)$，称为标准差或者均方差。

离散型随机变量：
$$\mathrm{D}(\mathrm{X})=\sum _{k=1}^{\infty }{[x-E(X)]}^2{p}_k$$
其中 $p_k$ 是 $X$ 的分布律

连续型随机变量：
$$\mathrm{D}(\mathrm{X})={\int }_{-\infty }^{\infty }{[x-E(X)]}^{2}f(x)dx$$
$f(x)$ 是 $X$ 的概率密度。

随机变量 $X$ 的方差可以用下面的公式计算：
$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

协方差与相关系数

定义： E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}E\{ [X - E(X)][Y - E(Y)]\}E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} 称为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的协方差，记为 $Cov(X,Y)$ 即：
Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} Cov(X,Y) = E\{ [X - E(X)][Y - E(Y)]\} Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
而
$${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{D}(\mathrm{X})}\sqrt{\mathrm{D}(\mathrm{Y})}}$$
称为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。

协方差可以用于衡量数据直接的相关性，设有数据 $X$ 和 数据 $Y$， 通过计算二者的协方差可以有下面的三种情况：

• $Cov(X,Y)>0$ 时，$X$ 、$Y$ 正相关，即两者有同时增加或者减少的倾向
• $Cov(X,Y)<0$ 时，$X$ 、$Y$ 正相关，即两者有反向增加或者减少的倾向
• $Cov(X,Y)=0$ 时，$X$ 、$Y$ 不相关

那么相关系数又是干嘛的呢，假如我们有身高、体重、年龄这三组数据，我们想比较一下到底是身高与体重的相关性大，还是年龄与体重的相关性大？那我们计算身高、体重会有一个单位（厘米.公斤）的度量，计算年龄、体重也会有一个单位（岁.公斤）度量，这样的话单位不统一就没有评价的标准。通过计算他们的相关系数，就可把单位消掉，忽略它们各自不同的度量，就可以归一化到 -1 和 1 之间的值进行比较。

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