【Codeforces】 题解 Round#810C. Do you want a date? - 数论（组合数）

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题意

       求找到任意的子集然后计算里面的最大差值，所有子集的最大差值的和就是我们要的答案。（只有一个元素的子集差值视为零）

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        首先我们对于题目分析，影响最大差值的值的只有左边界和右边界，

        所以我们不难想到枚举每个边界，得到sum，进一步我们发现如果L表示左边界，R表示右边界，abs（a[R]-a[L]）的值会影响我们最后的sum，但这样子前后两个数的值大小关系不确定，并且没法得到他们作为左右边界的情况出现的次数。

        所以我们可以先将数组从小到大排序，那么对于L和R，a[R]-a[L]保证为正，同时我们稍作分析，对于LR为左右边界的情况，只有L<i<R的数有影响。并且我们通过组合数可以得到出现的次数为2^(R-L-1)。但是这样子的复杂度为O(n^2）

        既然直接统计整一条长度不行，我们不妨统计每相邻两个数的长度出现的覆盖次数。我们取右边界R，可以发现a[R]-a[R-1]这条边出现的条件为R之前的点至少有一个出现。再通过组合数可以得到出现次数为2^(R-1) -1 乘上 2^(n-R+1) - 1。

        为什么我稍作解释，R前面有R-1个数，这个集合的子集个数为2^(R-1)，其中包含一个空集，但我们要求至少有一个点出现，于是我们减一就可以了。同时对于一条边而言，左右两边的方向都要统计，所以要乘上2^(n-R+1) - 1。

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AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

static const int N = 3e5 + 10;
static const int mod = 1e9 + 7;
long long n, a[N], len[N], two[N], k[N];

void init ()
{
    two[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 300000; ++i)
    {
        two[i] = (two[i-1] * 2) % mod;
        k[i] =  (two[i] - 1 + mod) % mod;
    }
}

int main ()
{
    cin >> n;
    init ();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    sort (a + 1, a + n + 1); 
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        len[i] = a[i] - a[i-1];
    long long ans = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        ans = (ans + (len[i] * ((k[i-1] * k[n-i+1]) % mod)) % mod) % mod;
    cout << ans;
    return 0; 
}