线性dp+中位数，POJ3666 Making the Grade_making the grade poj3666-优快云博客

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文章讲述了如何使用动态规划解决一个题目，给定整数序列，找到非严格递增或递减的子序列，使所有元素与目标序列的绝对差之和最小。主要涉及思路分析、复杂度分析以及C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

3666 -- Making the Grade (poj.org)

二、解题报告

1、思路分析

先不考虑题目的问题，先明确一点，给定一个整数序列a，求一整数x使得Σ|a[i] - x|最小，那么x为序列a中的中位数，证明很简单，类似于剥洋葱：

对于本题而言，要求得到非严格递增/递减的序列b，使得Σ|ai - bi|最小

假设前k个数字已经得到b1~bk，那么对于ak+1，如果ak+1 >= ak，那么我们直接取bk+1 = ak+1

否则，令bj ~ bk+1取aj ~ ak+1的中位数，我们先不关心j如何取，我们得出一个结论：b序列都是a序列中的数

我们先将a升序/降序排列，因为题目要求所以我们要升序降序各dp一次

定义状态f[i][j]为bi = aj时的前i个差的绝对值之和的最小值

那么f[i][j] = min(f[i - 1][j]) + abs(a[i] - b[j])

2、复杂度

时间复杂度： O(nlogn)空间复杂度：O(n^2)

3、代码详解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
const int N = 2005;
int n, a[N], b[N];
long long f[N][N], ans = LLONG_MAX;
void solve()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[1][i] = abs(a[1] - b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        long long mi = LLONG_MAX;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = (mi = min(mi, f[i - 1][j])) + abs(a[i] - b[j]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = min(ans, f[n][i]);
}
int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i], b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1);
    solve();
    reverse(b + 1, b + n + 1);
    solve();
    cout << ans;
    return 0;
}