EQUINOX1的博客

对于任意一个m×nm \times nm×n的矩阵AAA，其秩为rrrACRA = CRACRC是一个m×rm \times rm×r的矩阵，它的列由矩阵AAA的rrr个线性无关的列构成。这些列构成了AAA的列空间的一组基。R是一个r×nr \times nr×n的矩阵，它由矩阵AAA的简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）中的rrr个非零行构成。这些行构成了AAA的行空间的一组基。

一个。

*二次型（Quadratic form）**是关于一些变量的二次齐次多项式。例如，在二维空间中：在三维空间中：x是变量组成的列向量，例如 x = [x₁, x₂]ᵀ。A是一个对称矩阵，称为二次型的矩阵。xᵀ是 x 的转置（行向量）。

若 λ 是 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 x；μ 是 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 y。一、中已经介绍反对称矩阵的二次型恒为0，那么我们发现非对称矩阵的二次型仅取决于其分解的对称部分，研究方法和二、中的内容类似。不同特征值的特征向量相互正交，那么如果一个特征值的几何重数大于1，那么我们是否可以选取出一些相互正交的特征向量呢？因为实对称矩阵可以得到n个线性无关两两正交的特征向量，那么我们对特征向量再进一步。显然是可以的，从该特征值的特征向量张成的特征空间中取出一组正交基即可。

一个向量。

当 A 列向量线性相关时，我们不能使用投影矩阵公式，如何做投影？对 A 列变换高斯消元找到一组基向量，记基向量构成的矩阵A’在子空间S上的投影是S中离b 最近的向量p。给出了 b 在 C(A) 上的投影。当 Ax = b 无解时，我们称。最小二乘法的一个重要应用就是。通过 一的内容 我们知道，不是方阵，则我们不能拆开。的列向量线性无关，证毕。

根据A* 的定义，因为 r(A) < n - 1，所以A的所有n - 1阶子式均为0，所以 A* = 0。**秩–零化度定理（Rank–Nullity Theorem）：**对于任意n*n矩阵 A，有。并且由于 r(I) = r(A)，我们会发现 r(F) = n - r(A)矩阵A 的列向量的张成，即 矩阵A 的。A A* = |A|I，故 A* 可逆，r(A*) = n。也是满秩的，即 r(A*) = n。的秩为1，即 r(A*) = 1。是零矩阵，即 r(A*) = 0。显然，零向量一定属于零空间。

比如我们要将第1列的k倍加到第3列(第3行的k倍加到第1行)，那么就有如下表示，我们记为。已知列向量左乘矩阵就是矩阵列向量的线性组合，行向量右乘矩阵，就是行向量的线性组合。都是单位下三角矩阵，对应一次加法操作（加某行倍数到下方某行）。对于行/列交换矩阵，其逆矩阵就是其自身，因为交换两次相当于没交换。比如我们要将 第二列/行 倍乘k倍，那么就有如下表示，我们记为。矩阵乘法可以看作对一个矩阵的列/行空间施加同样的线性变换。比如我们要交换 1、2列/行，那么就有如下表示，我们记为。对于行/列倍加矩阵，显然有。

高斯消元法是线代中非常基础的知识，在数据量较小的时候，可以用来求解 加法/异或/同余方程组，矩阵求逆。

3b1b线性代数基础如果对线性空间有一定理解，那么完全有能力独立发明线性基异或和设S为 一无符号整数集合（下同），其异或和为x1xorx2xorxnxi∈Sx1​xorx2​xor...xn​xi​∈S张成设T⊆ST⊆S，所有这样子集的异或和所组成的集合，称为集合S的张成，记作span(S)。即，在S中选出任意多个数，其异或和所有可能的结果组成的集合。线性相关对于一个集合， 如果存在xi∈S。

3b1b之前没认真看，闲了整理整理。这里给一个非严格的叉积定义，在二维平面中，我们称 向量v 和 向量w 构成平行四边形的有向面积为向量v 和向量w 的叉积。正负通过右手定则判断，右手四指从v 弯向 w，大拇指朝外，则为正，否则为负。仍以二维平面为例，计算方式如下：将v 作为 二维矩阵第一列，w 作为第二列，行列式的值就是叉积结果。事实上，叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。计算方式如下：得到的新的三维向量的长度为v 和 w 围成的平行四边形的面积。