Sampling Theorem

我们对一个函数$g(x)$进行傅里叶变换得到$G(f_x)$.
然后将$G(f_x)$以周期$\Delta$进行展开构造出一个新的周期函数，然后将该周期函数转换成傅里叶序列：

$$\sum^{\infty}_{-\infty}G(f_x+n\Delta)=\sum^{\infty}_{-\infty}g_k\;exp(-i2\pi kf_x/\Delta)\quad（1）$$
其中$g_k$根据傅里叶系数变换规则计算得到：
$$g_k=\frac1\Delta g(\frac k\Delta)\quad（2）$$
然后我们将(1)带入(2)并用rect函数截取其中的一个周期(我们取$\Delta$等于2B)：
$$G(x)=\frac{1}{2B}\sum^{\infty}_{k=-\infty}g(\frac{k}{2B})exp(-i2\pi k\frac{f_x}{2B})rect(\frac{f_x}{2B}) \quad (3)$$
这样我们就恢复了g(x)的傅里叶变换G(x)。
然后我们对上式进行傅里叶反变换得到：
$$g(x)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}g(\frac{k}{2B})sinc[2B(x-\frac{k}{2B})]\quad (4)$$

接下来我们将对上式进行解释：
首先我们对$sinc$函数进行分析,我们发现:

$$\sum^{\infty}_{-\infty}sinc(2Bx-m)sinc(2Bx-n)dx=0$$
这说明sinc(2bx-m)是一个正交函数他们满足构成一个正交基的第一个条件。
然后我们分析发现，sinc函数还具备完备性，所以sinc函数就是一个正交基，而$g(\frac{k}{2B})$是这个基的系数。
所以我们可以通过对g(x)的取样数据恢复整个g(x)数据。
那么现在的关键就是我们该怎么决定B的大小，我们知道在时域非无限的数据在频域是无限的，而我们上述的公式要求我们的频域函数是有限的，所以我们需要对频域进行截取目标是使大多数能量集中到截取的范围内，我们定义一个系数$α$来表示截取能量与总能量的比值：
$$α=\frac{\sum^B_{-B}df_x|G(f_x)|^2}{\sum^\infty_{-\infty}df_x|G(f_x)|^2}$$
B的选取规则是使得α能够尽量的大。
那么当我们选取好了B之后我们的取样间隔T和取样数目N又会有怎么样的变化呢？
由（4）式我们得知当我们$\Delta$选取为2B的时候我们的系数是对g(x)的采样采样频率为2B即采样周期T为$\frac{1}{2B}$,然后由于我们的g(x)长度为2L，所以我们的采样数N为
4BL。这个4BL就是我们的space bandwidth product也就是我们的最低采样数，当采样数低于这个时，频率就会出现重叠就无法用rect函数截取恢复G(x)了。