51nod 1491 黄金系统

最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布

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本文介绍了一种基于黄金比例q的特殊数制系统，并提出了如何比较该系统下两个数a和b大小的方法。通过构建f[i]来表示q^i的系数，并利用黄金比例的性质进行数值转移，实现了高效的大小比较。

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题目描述

q=(√5+1)/2，在黄金系统下面a0a1…an等于 $\sum_{i=0}^na_i*q^{n-i}$ ，其中 ai 是0或者1。
现在给出两个黄金系统下面的数字a和b，请比较他们的大小。
n<=10^5

类斐波那契数

$q^2=(√5+1)^2/4=(5+1+2√5)/4=(3+√5)/2=1+(1+√5)/2=1+q$
所以 $n>=2时有q^n=q^{n-2}*q^2=q^{n-2}(q+1)=q^{n-1}+q^{n-2}$
根据这个，我们可以设f[i]表示 $q^i$ 的系数，初识时，若ai=1则f[n-i]++；若bi=1则f[n-i]–。f[i]的值可以转移到f[i-1]和f[i-2]，所以最后我们可以全部转移到f[1]和f[0]，就可以比较a和b的大小了(f[1]*q+f[0]>0则a>b)。
直接这样就能过了吗？too naive。
f的值显然可以爆long long。
f是从高位往低位转移的，事实上，在这个过程中当某个f[i]的值的绝对值大于2(也就是高位上第一个f的值的绝对值大于1)且i>2时，a和b大小就已经能够确定了。
假设f[i]=2,因为f[i+1]的绝对值小于等于1，所以f[i-1]的值最小为-1-1=-2,那么f[i]的值转移给f[i-1]和f[i-2]后，f[i-1]>=0,姑且先当f[i-1]=0,而f[i-2]的值最小为-1+2=1，也先当f[i-2]=2(这样保证a是最小的)，f[i-2]对后面所有的转态都至少造成了+1的影响，而后面的f>=-1,所以至少有a>=b,而当i>2时，显然可以保证a>b。

代码

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100000+5;const double p=(sqrt(5)+1)/2;
int f[maxn],l1,l2,i;
char a[maxn],b[maxn];
int main(){
    scanf("%s",a+1);
    scanf("%s",b+1);
    l1=strlen(a+1),l2=strlen(b+1);
    fo(i,1,l1) f[l1-i]=a[i]-'0';
    fo(i,1,l2) f[l2-i]+='0'-b[i];
    fod(i,max(l1,l2),3){
        if (f[i]<-1) {printf("<\n");return 0;}
        if (f[i]>1) {printf(">\n");return 0;}
        f[i-1]+=f[i],f[i-2]+=f[i];
    }
    f[1]+=f[2],f[0]+=f[2];
    if (f[1]==0&&f[0]==0) {printf("=\n");return 0;}
    double s=f[1]*p+f[0];
    if (s>0) printf(">\n");else printf("<\n");
}