Uva 437 Tower of Babylon

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#ACM/ICPC #Uva #DP

本文介绍了如何使用有向无环图模型和动态规划解决UVA 378正方体堆叠问题。通过枚举正方体的面并将其视为图的结点，构建一个有向无环图，然后利用动态规划求解最大堆叠高度。

题目链接：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=378

分析：运用Directed Acyclic Graph Model，枚举每一个正方体的两个面，把每一个由此得到的正方形当作一个结点，如果正方形u的长和宽大于正方形v的长宽，则结点u, v之间有一条边e。因为正方形u和v之间不能相互嵌套，并且一个正方形不能嵌套其本身，所以这是一个有向无环图。用dp[i]代表包括正方体i后的Tower的最大值，则状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j] + h[i]) if q[i].width < q[j].width, q[i].length < q[j].length

Top-down dp (recursive version)

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

struct Node {
	int x, y, z;
	Node(int x1, int y1, int z1) {
		x = x1;
		y = y1;
		z = z1;
	}
	bool operator < (const Node &n) const {
		return (x < n.x && y < n.y) || (x < n.y && y < n.x);
	}
};

int n;
bool G[100][100];
int d[100];
vector<Node> vec;

int dp(int i, int h) {
	int & ans = d[i];
	//记忆化搜索，已经计算过结果
	if (ans > 0) return ans;
	//每个长方体至少有自己的高
	ans = h;
	for (int j = 0; j < n * 3; j++) {
		//可以叠加 
		if (G[i][j]) ans = max(ans, dp(j, vec[j].z) + h);
	}
	return ans;
}

int main() {
	int cnt = 0;
	while (scanf("%d", &n) == 1 && n) {
		vec.clear();
		memset(G, 0, sizeof(G));
		memset(d, 0, sizeof(d));
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			int x, y, z;
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
			vec.push_back(Node(x, y, z));
			vec.push_back(Node(y, z, x));
			vec.push_back(Node(x, z, y));
		}

		sort(vec.begin(), vec.end());

		for (int i = 0; i < n * 3; i++) {
			for (int j = 0; j < n * 3; j++) {
				if (vec[i] < vec[j]) G[i][j] = 1;
			}
		}

		int result = -1;
		for (int i = 0; i < n * 3; i++) {
			result = max(result, dp(i, vec[i].z));
		}
		printf("Case %d: maximum height = %d\n", ++cnt, result);
	}
}