交叉熵损失导数推导及源代码实现

交叉熵损失函数是深度学习中常用的一种损失函数，用于衡量模型输出与真实标签之间的差异。在反向传播算法中，我们需要计算交叉熵损失函数对于模型参数的导数，以便更新参数来最小化损失函数。在本文中，我们将推导交叉熵损失函数的导数，并提供相应的Python源代码实现。

1. 交叉熵损失函数
   交叉熵损失函数常用于分类问题，特别是多类别分类。给定一个样本的预测概率分布p和真实标签的概率分布q，交叉熵损失函数定义如下：

L(p, q) = -Σ(q_i * log(p_i))

其中，p_i表示模型对于第i个类别的预测概率，q_i表示真实标签的第i个类别的概率。

2. 交叉熵损失函数导数推导
   为了求解交叉熵损失函数对于模型参数的导数，我们需要对损失函数进行求导。首先，我们对每个预测概率p_i求偏导数：

∂L/∂p_i = -q_i / p_i

然后，我们将链式法则应用于求解损失函数对于模型参数的导数。假设模型输出为y，我们可以将预测概率p_i表示为一个softmax函数：

p_i = softmax(y)_i = exp(y_i) / Σ(exp(y_j))

其中，softmax函数将模型输出y映射到一个概率分布。

现在，我们可以对交叉熵损失函数进行求导：

∂L/∂y_i = ∂L/∂p_i * ∂p_i/∂y_i
= -q_i / p_i * p_i * (1 - p_i)
= p_i - q_i

由于交叉熵损失函数通常与一个softmax层结合使用，可以简化导数求解过程。

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