极坐标格式下的二维傅里叶变换与逆变换推导

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#信号处理 #数字信号处理 #数学

极坐标格式下的二维傅里叶变换与逆变换推导

直角坐标系下的二维傅里叶变换和逆变换分别如下：
$G(u,v)=\iint g(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy \\ g(x,y)=\iint G(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$
现在，令
$x=rcos\theta \quad y=rsin\theta \quad u=fcos\phi \quad v=fsin\phi$
由于
$J(r,\theta)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}$
则， $J(r,θ)=∣cosθ−rsinθsinθrcosθ∣=rJ(r,\theta)=\begin{vmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{vmatrix}=r$

同理， $J(f,ϕ)=∣cosϕ−fsinϕsinϕfcosϕ∣=fJ(f,\phi)=\begin{vmatrix} cos\phi & -fsin\phi \\ sin\phi & fcos\phi \end{vmatrix}=f$

又由于
$ux+vy=fcos\phi \space rcos\theta+fsin\phi \space rsin\theta \\=fr(cos\phi cos\theta+sin\phi sin\theta)=frcos(\phi-\theta)$
可得

极坐标格式下的二维傅里叶变换为：
$G(f,\phi)=\iint g(r,\theta)e^{-j2\pi frcos(\phi-\theta)}rdrd\theta$
极坐标格式下的二维逆傅里叶变换为：
$g(r,\theta)=\iint G(f,\phi)e^{j2\pi frcos(\phi-\theta)}fdfd\phi$